by Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số $y = 2{x^3} – 3(m + 1){x^2} + 6mx – m – 1$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt đều có hoành độ dương.
A. $(4 – \sqrt 2 ; + \infty ).$
B. $(1 + \sqrt 2 ; + \infty ).$
C. $( – 1;0) \cup (1 + \sqrt 2 ; + \infty ).$
D. $(4 – \sqrt 3 ; + \infty ).$
Hướng dẫn
Xét hàm số $f\left( x \right) = 2{x^3} – 3(m + 1){x^2} + 6mx – m – 1 \Rightarrow f’\left( x \right) = 6{x^2} – 6(m + 1)x + 6m;\forall x \in \mathbb{R}.$
Phương trình $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} – (m + 1)x + m = 0 \Leftrightarrow (x – 1)(x – m) = 0 \Leftrightarrow \left( \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = m\end{array} \right.$
Do hệ số của ${x^3}$ nên ta sẽ có hai trường hợp sau:
TH1. Nếu ${x_1} = 1 > {x_2} = m \Leftrightarrow m < 1.$ Để $\left( C \right)$ cắt Ox tại ba điểm có hoành độ dương $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1},{x_2} > 0\\f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right) < 0\\f\left( 0 \right) < 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > m > 0\$2m – 2)(3{m^2} – {m^3} – m – 1) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > m > 0\\{m^3} – 3{m^2} + m + 1) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset .$
TH2. Nếu ${x_1} = 1 < {x_2} = m \Leftrightarrow m > 1.$ Để $\left( C \right)$ cắt Ox tại ba điểm có hoành độ dương $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right) < 0\\f\left( 0 \right) < 0\end{array} \right.$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\$2m – 2)(3{m^2} – {m^3} – m – 1) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{m^3} – 3{m^2} + m + 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m > 1 + \sqrt 2 \Rightarrow m \in (1 + \sqrt 2 ; + \infty ).\end{array}$
