Nguyên hàm là gì? Hàm số \(F_{(x)}\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f_{(x)}\) trên (a;b) nếu \(F’_{(x)} = f_{(x)}\) Ví dụ: Hàm số \(y = x^{2}\) là nguyên hàm của hàm số \(y = 2x\) trên \(\mathbb{R}\) vì \((x^{2})’ = 2x\) Hàm số \(y = \ln x\) là nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{1}{x}\) trên \((0,+\infty )\) vì \((\ln x)’ = \frac{1}{x}\) Tính chất của nguyên hàm \((\int f_{(x)}dx)’ = f_{x}\) \(\int a.f_{(x)}dx = a.\int f_{(x)}dx\) \(\int \left [ f_{(x)} \pm g_{(x)} \right ]dx = \int f_{(x)}dx \pm \int g_{(x)}dx\) Bảng nguyên hàm đầy đủ…

Công thức cộng, trừ và nhân hai số phức Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có: \(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i\) \(z_1-z_2=(a + bi) – ( c + di) = (a – c) + (b – d)i\) \(z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i\) Nhận xét Phép cộng và phép nhân số phức được thực hiện tương tự như đối với số thực, với chú ý \(i^2=-1.\) Với mọi \(z,z’\in\mathbb{C}\): \(z + \overline z =…

Định nghĩa tích phân Cho hàm \(f(x)\) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ a đến b và ký hiệu là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} .\) Tính chất của tích phân – Công thức tích phân Cho các hàm số \(f(x),\,g(x)\) liên tục trên K và \(a,b,c\) là ba số thuộc K. \(\,\int\limits_a^a {f(x)dx = 0}\) \(\int\limits_a^b {f(x)dx = – \int\limits_b^a {f(x)dx} }\) \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} }\) \(\int\limits_a^b {k.f(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} }\) \(\int\limits_a^b {[f(x) \pm…

Công thức tích phân từng phần Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b], thì ta có : $\int\limits_a^b {udv = \left. {\left[ {uv} \right]} \right|_a^b – \int\limits_a^b {vdu} } $ Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau : Ưu tiên 1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u = ln(x) hay u = log$_a$x. Ưu tiên 2 : Đặt u = ? mà có thể hạ bậc. Ví dụ áp dụng công thức tích phân từng phần Ví dụ 1: Tính…

Phương pháp 1. Tính căn bậc hai của số phức Căn bậc hai của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa ${w^2} = z$.  Căn bậc hai của $0$ bằng $0.$ Với $z \ne 0$ và $z = r(c{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi )$ với $r > 0.$ Đặt $w = R(c{\rm{os}}\theta + i \sin \theta )$ với $R > 0$ thì: ${{\rm{w}}^2} = z$ ⇔ ${R^2}(c{\rm{os}}2\theta + i \sin 2\theta ) = r(c{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi )$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {R^2} = r\\ 2\theta = \varphi + k2\pi , k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} R = \sqrt r \\…

Phương pháp Để viết số phức $z = a + bi,(a,b \in R)$ dưới dạng lượng giác $z = r(c{\rm{os}}\varphi + i\sin \varphi )$, trước hết ta biến đổi: $z = \sqrt {{a^2} + {b^2}} (\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}i).$ Như vậy: $r = \sqrt {{a^2} + {b^2}}.$ Đặt $c{\rm{os}}\varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ và $\sin \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$ Từ đó suy ra $\varphi $ là $1$ $acgumen$ của $z.$ Các công thức biến đổi lượng giác cần lưu ý $1 + c{\rm{os}}\varphi + i\sin \varphi $ $ = 2{\cos ^2}\frac{\varphi }{2} + 2i\sin \frac{\varphi }{2}c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2}$ $ = 2\cos \frac{\varphi }{2}\left[…

Bài toán:  1. Trường hợp $w$ là một số thực Nếu $w < 0$ thì $w$ có hai căn bậc hai là $\pm i\sqrt {|w|}$.  Nếu $w = 0$ thì $w$ có đúng một căn bậc hai là $0.$ Nếu $w > 0$ thì $w$ có hai căn bậc hai là $\pm \sqrt w$. Ví dụ 1: Hai căn bậc hai của $-1$ là $i$ và $-i$. Hai căn bậc hai của $-9$ là $3i$ và $-3i$. Hai căn bậc hai của $- {a^2}$ ($a$ là số thực khác $0$) là $ai$ và $-ai$. 2. Trường hợp $w = a + bi \left( {a,…

I. PHƯƠNG PHÁP Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$ (liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$) hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ Bước 1: Gọi $S$ là diện tích cần xác định, ta có: $S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) – g(x)} \right|dx} .$ Bước 2: Xét dấu biểu thức $f\left( x \right) – g\left( x \right)$ trên $\left[ {a;b} \right]$. Từ đó phân được đoạn $\left[ {a,b} \right]$ thành các đoạn nhỏ, giả sử: $\left[ {a;b} \right]$ $ = \left[ {a;{c_1}} \right] \cup \left[ {{c_1};{c_2}} \right] \cup … \cup \left[ {{c_k};b} \right]$ mà trên mỗi đoạn $f\left(…

I. PHƯƠNG PHÁP Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ (liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$), trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ và trục $Ox$ Bước 1: Gọi $S$ là diện tích cần xác định, ta có: $S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} .$ Bước 2: Xét dấu biểu thức $f\left( x \right)$ trên $\left[ {a;b} \right]$. Từ đó phân được đoạn $\left[ {a;b} \right]$ thành các đoạn nhỏ, giả sử: $\left[ {a;b} \right]$ $ = \left[ {a;{c_1}} \right] \cup \left[ {{c_1};{c_2}} \right] \cup … \cup \left[ {{c_k};b} \right]$ mà trên mỗi đoạn $f\left( x \right)$ chỉ có một dấu….

Nếu $u(x)$ và $v(x)$ là các hàm số có đạo hàm liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ thì: $\int\limits_a^b {u(x)v'(x)dx} $ $ = \left( {u(x)v(x)} \right)\left| \begin{array}{l} b\\ a \end{array} \right. – \int\limits_a^b {v(x)u'(x)dx} .$ Hay: $\int\limits_a^b {udv = uv\left| \begin{array}{l} b\\ a \end{array} \right. – \int\limits_a^b {vdu} } .$ Áp dụng công thức trên ta có quy tắc tính $\int\limits_a^b {f(x)dx} $ bằng phương pháp tích phân từng phần như sau: Bước 1: Viết $f(x)dx$ dưới dạng $udv = uv’dx$ bằng cách chọn một phần thích hợp của $f(x)$ làm $u(x)$ và phần còn lại $dv = v'(x)dx.$ Bước 2: Tính $du = u’dx$ và $v = \int {dv}…