Posted in Công thức Nguyên Hàm và Tích phân

Bảng công thức nguyên hàm hay và khó

Nguyên hàm là gì? Hàm số \(F_{(x)}\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f_{(x)}\) trên (a;b) nếu \(F’_{(x)} = f_{(x)}\) Ví dụ: Hàm số \(y = x^{2}\) là nguyên hàm của hàm số \(y = 2x\) trên \(\mathbb{R}\) vì \((x^{2})’ = 2x\) Hàm số \(y = \ln x\) là nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{1}{x}\) trên \((0,+\infty )\) vì \((\ln x)’ = \frac{1}{x}\) Tính chất của nguyên hàm \((\int f_{(x)}dx)’ = f_{x}\) \(\int a.f_{(x)}dx = a.\int f_{(x)}dx\) \(\int \left [ f_{(x)} \pm g_{(x)} \right ]dx = \int f_{(x)}dx \pm \int g_{(x)}dx\) Bảng nguyên hàm đầy đủ…

Xem tiếp...
Posted in Công thức số phức

Công thức số phức

Công thức cộng, trừ và nhân hai số phức Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có: \(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i\) \(z_1-z_2=(a + bi) – ( c + di) = (a – c) + (b – d)i\) \(z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i\) Nhận xét Phép cộng và phép nhân số phức được thực hiện tương tự như đối với số thực, với chú ý \(i^2=-1.\) Với mọi \(z,z’\in\mathbb{C}\): \(z + \overline z =…

Xem tiếp...
Posted in Công thức

công thức tính tích phân cơ bản

Định nghĩa tích phân Cho hàm \(f(x)\) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ a đến b và ký hiệu là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} .\) Tính chất của tích phân – Công thức tích phân Cho các hàm số \(f(x),\,g(x)\) liên tục trên K và \(a,b,c\) là ba số thuộc K. \(\,\int\limits_a^a {f(x)dx = 0}\) \(\int\limits_a^b {f(x)dx = – \int\limits_b^a {f(x)dx} }\) \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} }\) \(\int\limits_a^b {k.f(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} }\) \(\int\limits_a^b {[f(x) \pm…

Xem tiếp...
Posted in Công thức

Công thức tính tích phân

Công thức tích phân từng phần Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b], thì ta có : $\int\limits_a^b {udv = \left. {\left[ {uv} \right]} \right|_a^b – \int\limits_a^b {vdu} } $ Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau : Ưu tiên 1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u = ln(x) hay u = log$_a$x. Ưu tiên 2 : Đặt u = ? mà có thể hạ bậc. Ví dụ áp dụng công thức tích phân từng phần Ví dụ 1: Tính…

Xem tiếp...
Posted in số phức

Áp dụng công thức Moa-vrơ để tính căn bậc n của số phức

Phương pháp 1. Tính căn bậc hai của số phức Căn bậc hai của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa ${w^2} = z$.  Căn bậc hai của $0$ bằng $0.$ Với $z \ne 0$ và $z = r(c{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi )$ với $r > 0.$ Đặt $w = R(c{\rm{os}}\theta + i \sin \theta )$ với $R > 0$ thì: ${{\rm{w}}^2} = z$ ⇔ ${R^2}(c{\rm{os}}2\theta + i \sin 2\theta ) = r(c{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi )$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {R^2} = r\\ 2\theta = \varphi + k2\pi , k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} R = \sqrt r \\…

Xem tiếp...
Posted in số phức

Viết số phức dưới dạng lượng giác

Phương pháp Để viết số phức $z = a + bi,(a,b \in R)$ dưới dạng lượng giác $z = r(c{\rm{os}}\varphi + i\sin \varphi )$, trước hết ta biến đổi: $z = \sqrt {{a^2} + {b^2}} (\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}i).$ Như vậy: $r = \sqrt {{a^2} + {b^2}}.$ Đặt $c{\rm{os}}\varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ và $\sin \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$ Từ đó suy ra $\varphi $ là $1$ $acgumen$ của $z.$ Các công thức biến đổi lượng giác cần lưu ý $1 + c{\rm{os}}\varphi + i\sin \varphi $ $ = 2{\cos ^2}\frac{\varphi }{2} + 2i\sin \frac{\varphi }{2}c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2}$ $ = 2\cos \frac{\varphi }{2}\left[…

Xem tiếp...
Posted in số phức

Tìm các căn bậc hai của số phức w

Bài toán:  1. Trường hợp $w$ là một số thực Nếu $w < 0$ thì $w$ có hai căn bậc hai là $\pm i\sqrt {|w|}$.  Nếu $w = 0$ thì $w$ có đúng một căn bậc hai là $0.$ Nếu $w > 0$ thì $w$ có hai căn bậc hai là $\pm \sqrt w$. Ví dụ 1: Hai căn bậc hai của $-1$ là $i$ và $-i$. Hai căn bậc hai của $-9$ là $3i$ và $-3i$. Hai căn bậc hai của $- {a^2}$ ($a$ là số thực khác $0$) là $ai$ và $-ai$. 2. Trường hợp $w = a + bi \left( {a,…

Xem tiếp...
Posted in Nguyên Hàm và Tích phân

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

I. PHƯƠNG PHÁP Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$ (liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$) hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ Bước 1: Gọi $S$ là diện tích cần xác định, ta có: $S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) – g(x)} \right|dx} .$ Bước 2: Xét dấu biểu thức $f\left( x \right) – g\left( x \right)$ trên $\left[ {a;b} \right]$. Từ đó phân được đoạn $\left[ {a,b} \right]$ thành các đoạn nhỏ, giả sử: $\left[ {a;b} \right]$ $ = \left[ {a;{c_1}} \right] \cup \left[ {{c_1};{c_2}} \right] \cup … \cup \left[ {{c_k};b} \right]$ mà trên mỗi đoạn $f\left(…

Xem tiếp...
Posted in Nguyên Hàm và Tích phân

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

I. PHƯƠNG PHÁP Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ (liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$), trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ và trục $Ox$ Bước 1: Gọi $S$ là diện tích cần xác định, ta có: $S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} .$ Bước 2: Xét dấu biểu thức $f\left( x \right)$ trên $\left[ {a;b} \right]$. Từ đó phân được đoạn $\left[ {a;b} \right]$ thành các đoạn nhỏ, giả sử: $\left[ {a;b} \right]$ $ = \left[ {a;{c_1}} \right] \cup \left[ {{c_1};{c_2}} \right] \cup … \cup \left[ {{c_k};b} \right]$ mà trên mỗi đoạn $f\left( x \right)$ chỉ có một dấu….

Xem tiếp...
Posted in Nguyên Hàm và Tích phân

Tìm tích phần bằng cách tích phân từng phần

Nếu $u(x)$ và $v(x)$ là các hàm số có đạo hàm liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ thì: $\int\limits_a^b {u(x)v'(x)dx} $ $ = \left( {u(x)v(x)} \right)\left| \begin{array}{l} b\\ a \end{array} \right. – \int\limits_a^b {v(x)u'(x)dx} .$ Hay: $\int\limits_a^b {udv = uv\left| \begin{array}{l} b\\ a \end{array} \right. – \int\limits_a^b {vdu} } .$ Áp dụng công thức trên ta có quy tắc tính $\int\limits_a^b {f(x)dx} $ bằng phương pháp tích phân từng phần như sau: Bước 1: Viết $f(x)dx$ dưới dạng $udv = uv’dx$ bằng cách chọn một phần thích hợp của $f(x)$ làm $u(x)$ và phần còn lại $dv = v'(x)dx.$ Bước 2: Tính $du = u’dx$ và $v = \int {dv}…

Xem tiếp...