Posted in Nguyên Hàm và Tích phân

Tìm tích phần bằng cách tích phân từng phần

Nếu $u(x)$ và $v(x)$ là các hàm số có đạo hàm liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ thì: $\int\limits_a^b {u(x)v'(x)dx} $ $ = \left( {u(x)v(x)} \right)\left| \begin{array}{l} b\\ a \end{array} \right. – \int\limits_a^b {v(x)u'(x)dx} .$ Hay: $\int\limits_a^b {udv = uv\left| \begin{array}{l} b\\ a \end{array} \right. – \int\limits_a^b {vdu} } .$ Áp dụng công thức trên ta có quy tắc tính $\int\limits_a^b {f(x)dx} $ bằng phương pháp tích phân từng phần như sau: Bước 1: Viết $f(x)dx$ dưới dạng $udv = uv’dx$ bằng cách chọn một phần thích hợp của $f(x)$ làm $u(x)$ và phần còn lại $dv = v'(x)dx.$ Bước 2: Tính $du = u’dx$ và $v = \int {dv}…

Xem tiếp...
Posted in Nguyên Hàm và Tích phân

Phương pháp đổi biến cho lớp hàm số đặc biệt

I. PHƯƠNG PHÁP Dựa vào việc xem xét cận của tích phân và tính chất của hàm số dưới dấu tích phân ta có thể lựa chọn phép đặt ẩn phụ, thông thường: Với $I = \int\limits_{ – a}^a {f(x)dx}$ có thể lựa chọn việc đặt $x = -t.$ Với $I = \int\limits_0^{\pi /2} {f(x)dx} $ có thể lựa chọn việc đặt $t = \frac{\pi }{2} – x.$ Với $I = \int\limits_0^\pi {f(x)dx} $ có thể lựa chọn việc đặt $t = π – x.$ Với $I = \int\limits_0^{2\pi } {f(x)dx} $ có thể lựa chọn việc đặt $t = 2π – x.$…

Xem tiếp...
Posted in Nguyên Hàm và Tích phân

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2

I. PHƯƠNG PHÁP Để tính tích phân: $I = \int\limits_a^b {f(x)dx}$, với giả thiết hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$, ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Chọn $x = φ(t)$, trong đó $φ(t)$ là hàm số được lựa chọn một cách thích hợp (ảnh của $φ$ nằm trong tập xác định của $f$). Bước 2: Lấy vi phân $dx = φ'(t)dt$, giả sử $φ'(t)$ liên tục. Bước 3: Ta lựa chọn một trong hai hướng: Hướng 1: Nếu tính được các cận $α$ và $β$ tương ứng theo $a$ và $b$ (với $a = φ(α)$ và $b…

Xem tiếp...
Posted in số phức

Lý thuyết số phức căn bản

I. Số phức Số $i$: Việc xây dựng tập hợp số phức được đặt ra từ việc mở rộng tập hợp số thực sao cho mọi phương trình đa thức đều có nghiệm. Để giải quyết vấn đề này, ta bổ sung vào tập số thực $R$ một số mới, kí hiệu là $i$ và coi nó là một nghiệm của phương trình ${x^2} + 1 = 0$, như vậy ${i^2} = -1$. 1. Định nghĩa Mỗi biểu thức dạng $a + bi$, trong đó $a,b \in R, {i^2} = – 1$ được gọi là một số phức. Đối với số phức $z = a + bi$, ta…

Xem tiếp...
Posted in Nguyên Hàm và Tích phân

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 1

I. PHƯƠNG PHÁP Để tính tích phân: $I = \int\limits_a^b {g(x)dx} $ ta thực hiện các bước: Bước 1: Chọn biến số: Phân tích $g(x)dx = f[u(x)]u'(x)dx$ $= f[u(x)]d[u(x)].$ Đặt $u = u(x).$ Bước 2: Thực hiện phép đổi cận: Với $x = a$ thì $u = u(a).$ Với $x = b$ thì $u = u(b).$ Bước 3: Khi đó: $\int\limits_a^b {g(x)dx} $ $ = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du} .$ II. VÍ DỤ Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: a. $\int\limits_0^1 {{x^3}{{(1 + {x^4})}^3}dx} .$ b. $\int\limits_0^1 {\frac{{5xdx}}{{{{({x^2} + 4)}^2}}}} .$ Giải a. Đặt $u = 1 + x^4$, suy ra $du = 4x^3dx.$ Đổi cận: Với $x = 0$…

Xem tiếp...
Posted in Nguyên Hàm và Tích phân

Tính tích phân bằng cách phân tích

Để tính tích phân $I = \int\limits_a^b {f(x)dx} $ ta phân tích $f(x) = {k_1}{f_1}(x) + … + {k_m}{f_m}(x)$, trong đó các hàm ${f_i}(x){\rm{ }}(i = 1,2,3,…,n)$ có trong bảng nguyên hàm. Ví dụ 1. Tính các tích phân sau: $I = \int\limits_0^1 {\frac{{xdx}}{{\sqrt {3x + 1} + \sqrt {2x + 1} }}} .$ $J = \int\limits_2^7 {\frac{{xdx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x – 2} }}} .$ Giải 1. Ta có: $x = (3x + 1) – (2x + 1)$ $ = (\sqrt {3x + 1} – \sqrt {2x + 1} )$$(\sqrt {3x + 1} + \sqrt {2x + 1} ).$ Nên $I = \int\limits_0^1 {(\sqrt {3x + 1}…

Xem tiếp...
Posted in Nguyên Hàm và Tích phân

Tìm nguyên hàm loại 4

Tìm nguyên hàm dạng $I = \int {P(x)\ln xdx} $ Ta lấy nguyên hàm từng phần, theo các bước sau: Bước 1: Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = \ln x\\ dv = P(x)dx \end{array} \right.$ $ \to \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{{dx}}{x}\\ v = \int {P(x)dx} \end{array} \right.$  Bước 2: Thay vào công thức nguyên hàm từng phần, ta được một nguyên hàm quen thuộc mà có thể tính được bằng hai phương pháp đã biết: phân tích và đổi biến số. Ví dụ: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\left( {{x^2} – 2x} \right)\ln xdx} .$ Giải Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = \ln x\\ dv…

Xem tiếp...
Posted in Nguyên Hàm và Tích phân

Tính nguyên hàm đặc biệt loại 3

Tìm nguyên hàm dạng $I = \int {P(x){e^{{\rm{ax}}}}dx} $ Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.Ta tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = P(x)\\ dv = {e^{{\rm{ax}}}}dx \end{array} \right.$ $ \to \left\{ \begin{array}{l} du = P'(x)dx\\ v = \frac{1}{a}{e^{{\rm{ax}}}} \end{array} \right.$ Bước 2: Khi đó: $ I = \frac{1}{a}{e^{{\rm{ax}}}}P(x) – \frac{1}{a}\int {P'(x){e^{{\rm{ax}}}}dx} $. Bước 3: Tiếp tục thủ tục như trên ta sẽ khử được đa thức. Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm: $I = \int {x{e^{3x}}dx} .$ Giải Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^{3x}}dx \end{array} \right.$ $ \to \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v =…

Xem tiếp...
Posted in Nguyên Hàm và Tích phân

Tính nguyên hàm dạng đặc biệt loại 2

Tìm nguyên hàm dạng $\left[ \begin{array}{l} I = \int {{e^{{\rm{ax}}}}\sin bxdx} \\ I = \int {{e^{{\rm{ax}}}}c{\rm{osbxdx}}} \end{array} \right.$ với $a, b ≠ 0$ Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, theo các bước sau:  Bước 1: Đặt $\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} u = c{\rm{osbx}}\\ {\rm{dv = }}{{\rm{e}}^{{\rm{ax}}}}dx \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} u = \sin bx\\ dv = {e^{{\rm{ax}}}}dx \end{array} \right. \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} du = – b\sin {\rm{bxdx}}\\ {\rm{v = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{a}}}{{\rm{e}}^{{\rm{ax}}}} \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} du = b\cos {\rm{b}}xdx\\ v = \frac{1}{a}{e^{{\rm{ax}}}} \end{array} \right. \end{array} \right.$ Bước 2: Thay vào công thức nguyên hàm từng phần. Chú ý: Riêng…

Xem tiếp...
Posted in Nguyên Hàm và Tích phân

Tính nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm dạng $\left[ \begin{array}{l} I = \int {P(x)\sin axdx} \\ I = \int {P(x)c{\rm{osaxdx}}} \end{array} \right.$ với $P(x)$ là một đa thức Ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Sử dụng nguyên hàm từng phần, thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = P(x)\\ dv = \left[ \begin{array}{l} {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inaxdx}}\\ {\rm{cosaxdx}} \end{array} \right. \end{array} \right.$ $ \to \left\{ \begin{array}{l} du = P'(x)dx\\ v = \left[ \begin{array}{l} \frac{{ – 1}}{a}c{\rm{osax}}\\ \frac{{\rm{1}}}{{\rm{a}}}\sin ax \end{array} \right. \end{array} \right.$ Bước 2: Thay vào công thức nguyên hàm từng phần. Bước 3: Tiếp tục thủ tục như trên…

Xem tiếp...