by Biết rằng đường thẳng $d:y = – x + m$ luôn cắt đường cong $\left( C \right):y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}$ tại hai điểm phân biệt A, B. Độ dài đoạn AB đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
A. $\sqrt 6 $
B. $2\sqrt 6 $
C. $3\sqrt 6 $
D. 4
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm $\frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = – x + m \Leftrightarrow {x^2} + \left( {4 – m} \right)x + 1 – 2m = 0$
Gọi $A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ là hai giao điểm, khi đó có ${x_1} + {x_2} = m – 4;{x_1}{x_2} = 1 – 2m$
$AB = \sqrt {{{\left( {{x_1} – {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} – {y_2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_1} – {x_2}} \right)}^2} + {{\left( { – {x_1} + m – {x_2} – m} \right)}^2}} $ $ = \sqrt {2{{\left( {{x_1} – {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {2{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 8{x_1}{x_2}} $
$ = \sqrt {2{{\left( {m – 4} \right)}^2} – 8.\left( {1 – 2m} \right)} = \sqrt {2{m^2} + 24} \ge \sqrt {24} = 2\sqrt 6 $
