Tháng Mười Hai 1, 2022

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng $\left( d \right):x – 2y + m = 0$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 3}}{{x + 1}}$ tại hai điểm phân biệt.
A. $\frac{{3 – 4\sqrt 2 }}{2} < m < \frac{{3 + 4\sqrt 2 }}{2}$
B. $3 – 4\sqrt 2 < m < 3 + 4\sqrt 2$
C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < \frac{{3 – 4\sqrt 2 }}{2}}\\ {m > \frac{{3 + 4\sqrt 2 }}{2}} \end{array}} \right.$
D. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 3 – 4\sqrt 2 }\\ {m > 3 + 4\sqrt 2 } \end{array}} \right.$
Hướng dẫn
Ta có phương trình hoành độ giao điểm $\frac{{x – 3}}{{x + 1}} = \frac{{x + m}}{2}$
$\Leftrightarrow {x^2} + \left( {m – 1} \right)x + 6 + m = 0{\rm{ }}\left( * \right)$
Đường thẳng $\left( d \right):x – 2y + m = 0$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 3}}{{x + 1}}$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1.
$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} – 6m – 23 > 0}\\ {{{\left( { – 1} \right)}^2} + \left( {m – 1} \right)\left( { – 1} \right) + 6 + m \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 3 – 4\sqrt 2 \vee m > 3 + 4\sqrt 2 }\\ {\forall m} \end{array}} \right.$
$\Leftrightarrow m < \frac{{3 – 4\sqrt 2 }}{2}$ hoặc $m > \frac{{3 + 4\sqrt 2 }}{2}$.