by Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng y=3x+1 và đồ thị $y = {x^3} – 3mx + 3$ có duy nhất một điểm chung.
A. $m \in \mathbb{R}.$
B. $m \leq 0.$
C. $m<0.$
D. $m \leq 3.$
Hướng dẫn
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
${x^3} - 3mx + 3 = 3x + 1 \Leftrightarrow {x^3} + 2 = 3\left( {m + 1} \right)x \Rightarrow 3(m + 1) = {x^2} + \frac{2}{x} = f(x)$Ta có: $f'(x) = 2x - \frac{2}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^3} - 2}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 1$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT, đường thẳng y=3x+1 và đồ thị $y = {x^3} – 3mx + 3$ có duy nhất một điểm chung khi $3(m + 1) < 3 \Leftrightarrow m < 0.$
