Tháng Năm 22, 2022

Tìm số nguyên dương m nhỏ nhất để đường thẳng $y=-x+m$ cắt đồ thị hàm số

Tìm số nguyên dương m nhỏ nhất để đường thẳng $y=-x+m$ cắt đồ thị hàm số $\left( C \right):y = \frac{{x – 3}}{{2 – x}}$ tại hai điểm phân biệt.
A. m=1
B. m=0
C. m=2
D. m=3
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm:
$\begin{array}{l} \frac{{x – 3}}{{2 – x}} = – x + m \Leftrightarrow \left( {x – m} \right)\left( {x – 2} \right) = x – 3\\ \Leftrightarrow {x^2} – \left( {m + 2} \right)x + 2m = x – 3\\ \Leftrightarrow {x^2} – \left( {m + 3} \right)x + 2m + 3 = 0\left( * \right) \end{array}$
Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 2.
Điều này xảy ra khi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta ‘ > 0}\\ {{2^2} – \left( {m + 3} \right)x + 2m + 3 \ne 0} \end{array}} \right.$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {m + 3} \right)^2} – 2m – 3 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 6m + 9 – 2m – 3 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + m + 6 > 0 \end{array}$
Luôn thỏa mãn với mọi m.
Vậy số nguyên dương m nhỏ nhất là m=1.