by Cho hàm số y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}} có đồ thị (C) và A là điểm thuộc (C). Tìm giá trị nhỏ nhất d là tổng các khoảng cách từ A đến các tiệm cận của (C).
A. $d=2\sqrt2$
B. $d=2$
C. $d=3$
D. $d=2\sqrt3$
Hướng dẫn
Gọi $M\left( {m;\frac{{m + 1}}{{m – 1}}} \right) \in \left( C \right)\left( {m \ne 1} \right)$. Tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận x=1 và y=1 là:
$\begin{array}{l} S = \left| {m – 1} \right| + \left| {\frac{{m + 1}}{{m – 1}} – 1} \right|\\ = \left| {m – 1} \right| + \frac{2}{{\left| {m – 1} \right|}} \ge 2\sqrt {\left| {m – 1} \right|.\frac{2}{{\left| {m – 1} \right|}}} = 2\sqrt 2 \end{array}$
Dấu “=” xảy ra khi: $\left| {m – 1} \right| = \frac{2}{{\left| {m – 1} \right|}} \Leftrightarrow \left| {m – 1} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow m = 1 \pm \sqrt 2$
