by Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{3 – x}}{{{x^2} – 2}}$ có đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị (C) có một tiệm cận đứng là đường thẳng $x=\sqrt2$ và không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị (C) có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng $x=\sqrt2$ và một tiệm cận ngang là đường thẳng y=0.
C. Đồ thị (C) có hai tiệm cận đứng là đường thẳng $x=\sqrt2$ ; $x=-\sqrt2$ và một tiệm cận ngang là đường thẳng y=0.
D. Đồ thị (C) có hai tiệm cận đứng là đường thẳng $x=\sqrt2$ ; $x=-\sqrt2$ và không có tiệm cận ngang.
Hướng dẫn
Ta có ${x^2} – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt 2 }\\ {x = – \sqrt 2 } \end{array}} \right.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} \frac{{3 – x}}{{{x^2} – 2}} = + \infty$;$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ – }} \frac{{3 – x}}{{{x^2} – 2}} = – \infty$ $\Rightarrow x = \sqrt 2$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} \frac{{3 – x}}{{{x^2} – 2}} = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} \frac{{3 – x}}{{{x^2} – 2}} = + \infty \Rightarrow x = – \sqrt 2$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 – x}}{{{x^2} – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{3}{{{x^2}}} – \frac{1}{x}}}{{1 – \frac{2}{{{x^2}}}}} = \frac{0}{1} = 0$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{3 – x}}{{{x^2} – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{3}{{{x^2}}} – \frac{1}{x}}}{{1 – \frac{2}{{{x^2}}}}} = \frac{0}{1} = 0$ $\Rightarrow y = 0$ là một tiệm cận ngang của đồ thì hàm số.
