Tháng Mười Hai 2, 2022

Cho hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\left( C \right)$. Tìm các giá trị thực của m để đường thẳng

Cho hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\left( C \right)$. Tìm các giá trị thực của m để đường thẳng $d:y = x + m – 1$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho $AB = 2\sqrt 3$.
A. $m = 4 \pm \sqrt {10}$
B. $m = 2 \pm \sqrt {10}$
C. $m = 4 \pm \sqrt 3$
D. $m = 2 \pm \sqrt 3$
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là
$\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = x + m – 1 \Rightarrow {x^2} + \left( {m – 2} \right)x + m – 2 = 0\,\left( * \right)$
Ta thấy x=-1 không là nghiệm của (*)
Vì A,B là giao điểm của (C) và d nên A,B thuộc đường thẳng d và tọa độ x1;x2 là nghiệm của phương trình (*)
$A\left( {{x_1};{x_1} + m – 1} \right);B\left( {{x_2};{x_2} + m – 1} \right)$
$\to AB = {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} + {\left( {{x_2} – {x_1}} \right)^2} = 2\left( {{x_1} – {x_2}} \right) = 2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 4\left( {{x_1}.{x_2}} \right)} \right]$
Theo vi-et: ${x_1} + {x_2} = 2 – m$ ; ${x_1}{x_2} = m – 2$
$A{B^2} = 12 \Leftrightarrow m = 4 \pm \sqrt {10}$