by Cho hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x – 1}}\left( C \right)$. Tìm giá trị $m$ để đường thẳng $d:y = x + m$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt sao cho tam giác $OAB$ vuông tại $A$ hoặc $B$.
A. $m = 1 \pm \sqrt 5 $.
B. $m = 1 \pm \sqrt 3 $.
C. $m = 1 \pm \sqrt 2 $.
D. $m = 1 \pm \sqrt 6 $.
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm $\frac{{2x – 1}}{{x – 1}} = x + m \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m – 3} \right)x + 1 – m = 0\,\,\left( * \right)$.
Ta có $d$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt khi chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\Delta = {m^2} – 2m + 5 > 0\\{\left( 1 \right)^2} + \left( {m – 3} \right).1 + 1 – m \ne 0\end{array} \right.$ (luôn đúng với mọi $m$).
Gọi ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm phương trình $\left( * \right)$, ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3 – m\\{x_1}{x_2} = 1 – m\end{array} \right.$ và $\left( C \right)$ cắt $d$ tại $A\left( {{x_1};{x_1} + m} \right),\,\,B\left( {{x_2};{x_2} + m} \right)$.
Vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_2} – {x_1};{x_2} – {x_1}} \right)$ cùng phương với vectơ $\vec u = \left( {1;1} \right)$.
Tam giác $OAB$ vuông tại $A$ khi chỉ khi $\overrightarrow {OA} .\vec u = 0 \Leftrightarrow 2{x_1} + m = 0$.
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3 – m\\{x_1}{x_2} = 1 – m\\2{x_1} = – m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_1} = – m\\2{x_2} = 6 – m\\ – m\left( {6 – m} \right) = 4 – 4m\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1 + \sqrt 5 \\m = 1 – \sqrt 5 \end{array} \right.$.
