Tìm \(x\) để biểu thức \(\frac{P}{Q}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
A \(x = 1\)
B \(x = 2\)
C \(x = 3\)
D \(x = 4\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: C
Phương pháp giải:
Rút gọn biểu thức \(\frac{P}{Q}\) sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng bất đẳng thức Cô-si.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\)
Ta có: \(\frac{P}{Q} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x – 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x – 2}}.\frac{{\sqrt x – 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}.\)
Với mọi \(x > 0,\,\,x \ne 4\) ta có hai số \(\sqrt x ,\,\,\,\frac{3}{{\sqrt x }}\) là các số dương.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(\sqrt x ,\,\,\,\frac{3}{{\sqrt x }}\) ta được:
\(P = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{3}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 3 .\)
Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{3}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 3\,\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy \(Min\,\,P = 2\sqrt 3 \) khi \(x = 3.\)
Chọn C.