Tháng Tư 19, 2024

Tìm \(x\) để biểu thức \(\frac{P}{Q}\) đạt giá trị nhỏ nhất. A \(x = 1\) B \(x = 2\) C \(x = 3\) D \(x = 4\)

Tìm \(x\) để biểu thức \(\frac{P}{Q}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A \(x = 1\)

B \(x = 2\)

C \(x = 3\)

D \(x = 4\)

Hướng dẫn Chọn đáp án là: C

Phương pháp giải:

Rút gọn biểu thức \(\frac{P}{Q}\) sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng bất đẳng thức Cô-si.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\)

Ta có: \(\frac{P}{Q} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x – 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x – 2}}.\frac{{\sqrt x – 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}.\)

Với mọi \(x > 0,\,\,x \ne 4\) ta có hai số \(\sqrt x ,\,\,\,\frac{3}{{\sqrt x }}\) là các số dương.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(\sqrt x ,\,\,\,\frac{3}{{\sqrt x }}\) ta được:

\(P = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{3}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 3 .\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{3}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 3\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy \(Min\,\,P = 2\sqrt 3 \) khi \(x = 3.\)

Chọn C.