Cho biểu thức \(M = \left( {\frac{{2x\sqrt x + x – \sqrt x }}{{x\sqrt x – 1}} – \frac{{x + \sqrt x }}{{x – 1}}} \right)\frac{{x – 1}}{{2x + \sqrt x – 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x – 1}}\) Hãy tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức \(M\)có nghĩa, sau đó rút gọn \(M.\) A \(M = \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}}\) B \(M = \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\) C \(M = \frac{{x + \sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\) D \(M = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\)

Cho biểu thức \(M = \left( {\frac{{2x\sqrt x + x – \sqrt x }}{{x\sqrt x – 1}} – \frac{{x + \sqrt x }}{{x – 1}}} \right)\frac{{x – 1}}{{2x + \sqrt x – 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x – 1}}\)

Hãy tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức \(M\)có nghĩa, sau đó rút gọn \(M.\)

A \(M = \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}}\)

B \(M = \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\)

C \(M = \frac{{x + \sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\)

D \(M = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\)

Hướng dẫn Chọn đáp án là: C

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định sau đó quy đồng, biến đổi và rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0;\,\,\,x \ne 1;\,\,\,x \ne \frac{1}{4}.\)

\(\begin{array}{l}M = \left( {\frac{{2x\sqrt x + x – \sqrt x }}{{x\sqrt x – 1}} – \frac{{x + \sqrt x }}{{x – 1}}} \right)\frac{{x – 1}}{{2x + \sqrt x – 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x – 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{2x\sqrt x + x – \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} – \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right)}}} \right].\frac{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x – 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{2x\sqrt x + x – \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} – \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 1}}} \right].\frac{{\sqrt x – 1}}{{2\sqrt x – 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x – 1}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{2x\sqrt x + x – \sqrt x – \sqrt x \left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x – 1}}{{2\sqrt x – 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x – 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2x\sqrt x + x – \sqrt x – x\sqrt x – x – \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x – 1}}{{2\sqrt x – 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x – 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{x\sqrt x – 2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}.\frac{1}{{2\sqrt x – 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x – 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{x\sqrt x – 2\sqrt x + \sqrt x \left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{x\sqrt x + x\sqrt x + x + \sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2x\sqrt x + x – \sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{2x\sqrt x + 2x – x – \sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2x\left( {\sqrt x + 1} \right) – \sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {2\sqrt x – 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{{x + \sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}.\end{array}\)

Chọn C.