by Cho biểu thức: \(A = \sqrt {x + 2\sqrt {x – 1} } + \sqrt {x – 2\sqrt {x – 1} } \) với \(x \ge 1.\)
a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 5.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A\) khi \(1 \le x \le 2.\)
A \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = 3\\{\rm{b)}}\,\,A = 1\end{array}\)
B \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = 4\\{\rm{b)}}\,\,A = 2\end{array}\)
C \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = 2\\{\rm{b)}}\,\,A = 2\end{array}\)
D \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = 3\\{\rm{b)}}\,\,A = 4\end{array}\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: B
Phương pháp giải:
a) Khi \(x = 5\,\,\left( {tm} \right),\) thay vào biểu thức \(A\) để tính giá trị biểu thức.
b) Thêm bớt 1 vào các căn bậc hai và rút gọn biểu thức nhờ công thức: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ – A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)
Lời giải chi tiết:
a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 5.\)
Điều kiện: \(x \ge 1.\)
Khi \(x = 5\,\,\left( {tm\,\,\,x \ge 1} \right),\) thay vào biểu thức ta được:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {5 + 2\sqrt {5 – 1} } + \sqrt {5 – 2\sqrt {5 – 1} } = \sqrt {5 + 2\sqrt 4 } + \sqrt {5 – 2\sqrt 4 } \\\,\,\,\,\, = \sqrt {5 + 2.2} + \sqrt {5 – 2.2} = \sqrt 9 + \sqrt 1 = 3 + 1 = 4.\end{array}\)
Vậy khi \(x = 5\) thì \(A = 4.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A\) khi \(1 \le x \le 2.\)
Điều kiện: \(1 \le x \le 2.\)
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {x + 2\sqrt {x – 1} } + \sqrt {x – 2\sqrt {x – 1} } \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {x – 1 + 2\sqrt {x – 1} + 1} + \sqrt {x – 1 – 2\sqrt {x – 1} + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x – 1} + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x – 1} – 1} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\, = \left| {\sqrt {x – 1} + 1} \right| + \left| {\sqrt {x – 1} – 1} \right|\\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {x – 1} + 1 + 1 – \sqrt {x – 1} \,\,\,\,\left( {do\,\,\,\,1 \le x \le 2 \Rightarrow 0 \le \sqrt {x – 1} \le 1 \Rightarrow \sqrt {x – 1} – 1 \le 0} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 2.\,\,\end{array}\)
Chọn B.
