Tháng Mười Hai 8, 2022

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = {x^4} – m{x^2}$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, gốc tọa độ O và B sao cho tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau.
A. $m = \frac{{\sqrt[3]{2}}}{2}.$
B. $m = \frac{{1}}{2}.$
C. $m = 0.$
D. Không có giá trị m.
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^4} – m{x^2}$ với trục hoành là: ${x^4} – m{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {{x^2} = m} \end{array}} \right.$.
Suy ra đồ thị hàm số $y = {x^4} – m{x^2}$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi m>0.
Khi đó A, B lần lượt có hoành độ là $- \sqrt m ,{\rm{ }}\sqrt m .$
Ta có $y’ = 4{x^3} – 2mx$, tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
$y’\left( { – \sqrt m } \right)y’\left( {\sqrt m } \right) = – 1$
$\Leftrightarrow \left( { – 4m\sqrt m + 2m\sqrt m } \right)\left( {4m\sqrt m – 2m\sqrt m } \right) = – 1$
$\Leftrightarrow 4{m^3} = 1 \Leftrightarrow m = \frac{{\sqrt[3]{2}}}{2}.$