Tháng Năm 21, 2022

Tìm m để đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} – mx + m}}{{{x^2} – 2mx + m + 6}}$ có đúng một tiệm cận ngang.

Tìm m để đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} – mx + m}}{{{x^2} – 2mx + m + 6}}$ có đúng một tiệm cận ngang.
A. $m \in \left\{ { – 2;3} \right\}$
B. $m \in \left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$
C. $m \in \left( { – \infty ; – 2} \right]$
D. $m \in \left( { – 2;3} \right)$
Hướng dẫn
Nhận thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 – \frac{m}{x} + \frac{m}{{{x^2}}}}}{{1 – \frac{{ – 2m}}{x} + \frac{{m + 6}}{{{x^2}}}}} = 1$
Tương tự: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = 1$
Vậy đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận ngang y = 1.
Vậy với mọi m mà hàm số đã cho xác định, ta luôn có một tiệm cận ngang, tức là ta đi tìm điều kiện xác định của hàm số: ${x^2} – 2mx + m + 6 \ne 0$.
Phương trình VN khi $\Delta ‘ < 0 \Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} - m - 6 < 0 \Leftrightarrow {m^2} - m - 6 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 3.$