Tháng Năm 26, 2022

Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x – 1}}.$

Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x – 1}}.$
A. $2\sqrt 3 $.
B. $2\sqrt 5 $.
C. $1$.
D. $2\sqrt 2 $.
Hướng dẫn
Ta có $y = 2 + \frac{1}{{x – 1}}$ và tiệm cận đứng là $x = 1$. Gọi $A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ lần lượt là hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị thỏa ${x_1} < 1 < {x_2}$. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}a = 1 - {x_1}\\b = {x_2} - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 1 - a \Rightarrow {y_1} = 2 - \frac{1}{a}\\{x_2} = b + 1 \Rightarrow {y_2} = 2 + \frac{1}{b}\end{array} \right.$ Ta có $A{B^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {{y_2} - {y_1}} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{a}} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\left[ {1 + {{\left( {\frac{1}{{ab}}} \right)}^2}} \right] \ge 4ab.\frac{2}{{ab}} = 8.$ Suy ra $A{B_{\min }} = 2\sqrt 2 $.