Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.

Cho hàm số $y = \frac{{3x – 1}}{{x – 3}}$ có đồ thị là (C). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
A. ${M_1}\left( {1; – 1} \right);{M_2}\left( {7;5} \right)$
B. ${M_1}\left( {1;1} \right);{M_2}\left( { – 7;5} \right)$
C. ${M_1}\left( { – 1;1} \right);{M_2}\left( {7;5} \right)$
D. ${M_1}\left( {1;1} \right);{M_2}\left( {7; – 5} \right)$
Hướng dẫn
Đồ thị (C) có tiệm cận đứng: ${\Delta _1}:x – 3 = 0$ và tiệm cận ngang ${\Delta _2}:y – 3 = 0.$
Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)$ với ${y_0} = \frac{{3{x_0} – 1}}{{{x_0} – 3}}\,\,\,\left( {{x_0} \ne 3} \right)$. Ta có:
$d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = 2.d\left( {M,{\Delta _2}} \right) \Leftrightarrow \left| {{x_0} – 3} \right| = 2.\left| {{y_0} – 3} \right|$
$\Leftrightarrow \left| {{x_0} – 3} \right| = 2.\left| {\frac{{3{x_0} – 1}}{{{x_0} – 3}} – 3} \right| \Leftrightarrow {\left( {{x_0} – 3} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = – 1\\ {x_0} = 7 \end{array} \right.$
Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là ${M_1}\left( { – 1;1} \right)$ và ${M_2}\left( {7;5} \right).$