Phương pháp đồ thị hàm logarit

Giải phương trình: ${\log _a}x = f\left( x \right)$ $\left( {0 < a \ne 1} \right)$ $(*).$
$(*)$ là phương trình hoành độ giao điểm của $2$ đồ thị $y = {\log _a}x$ $\left( {0 < a \ne 1} \right)$ và $y = f\left( x \right)$. Khi đó ta thực hiện 2 bước:

  •  Bước 1: Vẽ đồ thị các hàm số: $y = {\log _a}x$ $\left( {0 < a \ne 1} \right)$ và $y = f\left( x \right).$
  •  Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của  đồ thị.

Ví dụ 1. Giải phương trình: ${\log _3}\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^3} + 3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3x + 4} \right]$ $ = 2{\log _2}\left( {x + 1} \right).$

Giải

Điều kiện: $x > – 1.$

Phương trình đã cho tương đương ${\log _3}{\left( {x + 2} \right)^3} = 2{\log _2}\left( {x + 1} \right)$ hay $3{\log _3}\left( {x + 2} \right) = 2{\log _2}\left( {x + 1} \right).$

Đặt $3{\log _3}\left( {x + 2} \right) = 2{\log _2}\left( {x + 1} \right) = 6t$ suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 2 = {3^{2t}}}\\
{x + 1 = {2^{3t}}}
\end{array}} \right. \Rightarrow {9^t} – {8^t} = 1$, tức ${\left( {\frac{1}{9}} \right)^t} + {\left( {\frac{8}{9}} \right)^t} = 1$ $(*).$

Xét hàm $f\left( t \right){\rm{ }} = {\left( {\frac{1}{9}} \right)^t} + {\left( {\frac{8}{9}} \right)^t}$, ta thấy hàm $f\left( t \right)$ nghịch biến, lại có $f\left( 1 \right) = 1$ nên $t = 1$ là nghiệm duy nhất của $(*).$

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 7.$

Ví dụ 2. Giải phương trình: ${\log _2}\left( {x + {3^{{{\log }_6}x}}} \right) = {\log _6}x.$

Giải

Đặt $t = {\log _6}x \Rightarrow x = {6^t}.$ Phương trình đã cho trở thành: ${6^t} + {3^t} = {2^t}$, chia cả $2$ vế cho ${2^t}.$

Xét hàm số $f\left( t \right) = {3^t} + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} – 1$, vì $3 > \frac{3}{2} > 1$ nên $f\left( t \right)$ tăng và $f\left( { – 1} \right) = 0$, do đó $f\left( t \right) = 0$ xảy ra khi $t = – 1$ tức $x = \frac{1}{6}.$

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{1}{6}.$

Ví dụ 3. Giải phương trình: $\left( {3x – 5} \right)\log _3^2x$ $ + \left( {9x – 19} \right){\log _3}x – 12 = 0.$

Giải

Điều kiện: $x > 0.$

Đặt $t = {\log _3}x,$ phương trình trở thành: $\left( {3x – 5} \right){t^2} + \left( {9x – 19} \right)t – 12 = 0.$

Khi $x = \frac{5}{3}$, phương trình vô nghiệm.

Khi $x \ne \frac{5}{3}$, ta có: $\Delta = {\left( {9x – 11} \right)^2}$, khi đó phương trình có $2$ nghiệm $t = – 3$ hoặc $t = \frac{4}{{3x – 5}}.$

  • Với $t = – 3$ tức ${\log _3}x = – 3$ $ \Leftrightarrow x = {3^{ – 3}} = \frac{1}{{27}}.$
  • Với $t = \frac{4}{{3x – 5}}$ tức ${\log _3}x = \frac{4}{{3x – 5}}$. Xét hàm số: $f\left( x \right) = {\log _3}x – \frac{4}{{3x – 5}}$ với $0 < x \ne \frac{5}{3}.$

Ta có: $f’\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln 3}} + \frac{{12}}{{{{\left( {3x – 5} \right)}^2}}} > 0$, với mọi $0 < x \ne \frac{5}{3}.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^ – }} f\left( x \right) = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = – \infty .$

Lập bảng biến thiên, dễ thấy phương trình $f\left( x \right) = 0$ luôn có $2$ nghiệm phân biệt, hơn nữa $f\left( 3 \right) = f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 0$ nên phương trình $f\left( x \right) = 0$ luôn có $2$ nghiệm $x = \frac{1}{3}$ hoặc $x = 3.$

Vậy, phương trình có $3$ nghiệm: $x \in \left\{ {\frac{1}{{27}};\frac{1}{3};3} \right\}.$

Author: admin