Biến đổi phương trình về dạng tích logarit

Phương pháp: $f\left( x \right).g\left( x \right) = 0{\rm{ }}$ $ \Leftrightarrow f\left( x \right) = 0$ hoặc $g\left( x \right) = 0.$

Ví dụ 1. Giải phương trình: ${\log _3}x + {\log _4}x = {\log _5}x.$

Giải

Dễ thấy: ${\log _4}x = {\log _4}3.{\log _3}x$, ${\log _5}x = {\log _5}3.{\log _3}x.$

Với $x > 0$. Phương trình được viết dưới dạng:
${\log _3}x + {\log _4}3.{\log _3}x = {\log _5}3.{\log _3}x$ $ \Leftrightarrow {\log _3}x = 0 \Leftrightarrow x = 1.$

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = 1.$

Ví dụ 2.  Giải các phương trình:

1. ${\log _{5x}}\frac{5}{x} + \log _5^2x = 1.$

2. ${\log _{{x^2}}}16 + {\log _{2x}}64 = 3{\rm{ }}.$

Giải

1. Điều kiện: $0 < x \ne \frac{1}{5}.$

Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_5}\frac{5}{x}}}{{{{\log }_5}5x}} + \log _5^2x = 1$ $ \Leftrightarrow \frac{{1 – {{\log }_5}x}}{{1 + {{\log }_5}x}} + \log _5^2x = 1$

$ \Leftrightarrow {\log _5}x(\log _5^2x + {\log _5}x – 2) = 0$ $ \Leftrightarrow {\log _5}x\left( {{{\log }_5}x – 1} \right)\left( {{{\log }_5}x + 2} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\log _5}x = 0\\
{\log _5}x = 1\\
{\log _5}x = – 2
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 5\\
x = {5^{ – 2}}
\end{array} \right.$
Vậy phương trình có ba nghiệm: $x = 1; x = 5; x = \frac{1}{{25}}.$

2. Điều kiện: $0 < x \ne 1, x \ne \frac{1}{2}.$

Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_2}16}}{{{{\log }_2}{x^2}}} + \frac{{{{\log }_2}64}}{{{{\log }_2}2x}} = 3$ $ \Leftrightarrow \frac{2}{{{{\log }_2}x}} + \frac{6}{{1 + {{\log }_2}x}} = 3$

$ \Leftrightarrow 3\log _2^2x – 5{\log _2}x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x – 2} \right)\left( {3{{\log }_2}x + 1} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\log _2}x = 2\\
{\log _2}x = – \frac{1}{3}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 4\\
x = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}
\end{array} \right.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $x = 4; x = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}.$

Author: admin