Posted in hàm số mũ và hàm số logarit

Giải bất phương trình logarit

Ví dụ 1. Giải bất phương trình: 1. ${\log _2}\left( {\sqrt {3x + 1} + 6} \right) – 1$ $ \ge {\log _2}\left( {7 – \sqrt {10 – x} } \right).$ 2. ${\log _2}\frac{{5 – 12x}}{{12x – 8}} + {\log _{\frac{1}{2}}}x \le 0.$ Giải 1. Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} 3x + 1 \ge 0\\ 10 – x \ge 0\\ 7 – \sqrt {10 – x} > 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow – \frac{1}{3} \le x \le 10.$ Bất phương trình tương đương với ${\log _2}\frac{{\sqrt {3x + 1} + 6}}{2}$ $ \ge {\log _2}\left( {7 – \sqrt {10 – x} } \right)$ $ \Leftrightarrow \sqrt {3x…

Xem tiếp...
Posted in hàm số mũ và hàm số logarit

Phương pháp đồ thị hàm logarit

Giải phương trình: ${\log _a}x = f\left( x \right)$ $\left( {0 < a \ne 1} \right)$ $(*).$ $(*)$ là phương trình hoành độ giao điểm của $2$ đồ thị $y = {\log _a}x$ $\left( {0 < a \ne 1} \right)$ và $y = f\left( x \right)$. Khi đó ta thực hiện 2 bước:  Bước 1: Vẽ đồ thị các hàm số: $y = {\log _a}x$ $\left( {0 < a \ne 1} \right)$ và $y = f\left( x \right).$  Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của  đồ thị. Ví dụ 1. Giải phương trình: ${\log _3}\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^3} + 3{{\left( {x +…

Xem tiếp...
Posted in hàm số mũ và hàm số logarit

Biến đổi phương trình về dạng tích logarit

Phương pháp: $f\left( x \right).g\left( x \right) = 0{\rm{ }}$ $ \Leftrightarrow f\left( x \right) = 0$ hoặc $g\left( x \right) = 0.$ Ví dụ 1. Giải phương trình: ${\log _3}x + {\log _4}x = {\log _5}x.$ Giải Dễ thấy: ${\log _4}x = {\log _4}3.{\log _3}x$, ${\log _5}x = {\log _5}3.{\log _3}x.$ Với $x > 0$. Phương trình được viết dưới dạng: ${\log _3}x + {\log _4}3.{\log _3}x = {\log _5}3.{\log _3}x$ $ \Leftrightarrow {\log _3}x = 0 \Leftrightarrow x = 1.$ Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = 1.$ Ví dụ 2.  Giải các phương trình: 1. ${\log _{5x}}\frac{5}{x} + \log _5^2x = 1.$ 2. ${\log _{{x^2}}}16 +…

Xem tiếp...
Posted in hàm số mũ và hàm số logarit

Đặt ẩn phụ hàm logarit

Phương pháp: $f\left[ {{{\log }_a}g\left( x \right)} \right] = 0$ $\left( {0 < a \ne 1} \right)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = {\log _a}g\left( x \right)\\ f\left( t \right) = 0 \end{array} \right.$ Ta chú ý công thức đổi cơ số: ${\log _b}x = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}b}}$ $ \Rightarrow {\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}$ $\forall a, b, x > 0; a, b \ne 1.$ Ví dụ 1. Giải các phương trình: 1. ${\log _2}x + \sqrt {10{{\log }_2}x + 6} = 9.$ 2. $\sqrt {{{\log }_9}x + 1} + \sqrt {{{\log }_3}x + 3} = 5.$ 3. ${4^{{{\log }_2}2{\rm{x}}}} – {x^{{{\log }_2}6}} = {2.3^{{{\log }_2}4{x^2}}}.$ Giải 1. Điều kiện: $x…

Xem tiếp...
Posted in hàm số mũ và hàm số logarit

Biến đổi, quy về cùng cơ số hàm logarit

Phương pháp: ${\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a \ne 1\\ f\left( x \right) = g\left( x \right) > 0 \end{array} \right.$ Phương trình logarit cơ bản: ${\log _a}x = b$, $\left( {0 < a \ne 1} \right).$  ${\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}$, $\left( {0 < a \ne 1} \right)$.  $\lg x = b \Leftrightarrow x = {10^b}$, $\ln x = b \Leftrightarrow x = {e^b}$. Ví dụ 1. Giải các phương trình: 1. ${\log _{25}}{\left( {4x + 5} \right)^2} + {\log _5}x = {\log _3}27.$ 2. ${\log _2}x + {\log _3}x +…

Xem tiếp...
Posted in hàm số mũ và hàm số logarit

phương trình và bất phương trình logarit

A. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ 1. ${\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) = g\left( x \right)\\ f\left( x \right) \ge 0{\rm{ }}\left( {g\left( x \right) \ge 0} \right) \end{array} \right.$ 2. ${\log _a}f\left( x \right) = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^b}.$ 3. ${\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)$ $(*).$ Nếu $a > 1$ thì $\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) > g\left( x \right)\\ g\left( x \right) > 0 \end{array} \right.$ Nếu $0 < a < 1$ thì $\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) < g\left( x…

Xem tiếp...
Posted in hàm số mũ và hàm số logarit

Giải bất phương trình hàm số mũ

Ví dụ 1. Giải các bất phương trình: 1. ${\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{\frac{{x – 3}}{{x – 1}}}} < {\left( {\sqrt {10} – 3} \right)^{\frac{{x + 1}}{{x + 3}}}}.$ 2. ${\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^{2{x^2} + x + 1}} \le {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^{1 – x}}.$ Giải 1. Ta có $(\sqrt {10} + 3)(\sqrt {10} – 3) = 1$ $ \Rightarrow \sqrt {10} – 3 = {\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{ – 1}}.$ Bất phương trình đã cho $ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{\frac{{x – 3}}{{x – 1}}}} < {\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{ – \frac{{x + 1}}{{x + 3}}}}$ $…

Xem tiếp...
Posted in hàm số mũ và hàm số logarit

Tìm tham số thực $m$ thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ. Tìm $m$ để phương trình ${9^{1 + \sqrt {1 – {x^2}} }} – \left( {m + 2} \right){3^{1 + \sqrt {1 – {x^2}} }}$ $+ 2m + 1 = 0$ có nghiệm thực. Giải Điều kiện: $ – 1 \le x \le 1.$ Đặt $t = {3^{1 + \sqrt {1 – {x^2}} }}$, với $ – 1 \le x \le 1 \Rightarrow t \in \left[ {3;9} \right].$ Phương trình đã cho trở thành: ${t^2} – \left( {m + 2} \right)t + 2m + 1 = 0$, với $t \in \left[ {3;9} \right]$, tương đương với $m = \frac{{{t^2} – 2t + 1}}{{t – 2}}.$ Xét hàm số:…

Xem tiếp...
Posted in hàm số mũ và hàm số logarit

Phương pháp lượng giác hóa hàm số mũ

Phương pháp: Chọn thích hợp để đặt ${a^x} = \sin t$ hoặc ${a^x} = \cos t$ $\left( {0 < a \ne 1} \right).$ Ví dụ. Giải phương trình: $\sqrt {1 + \sqrt {1 – {2^{2x}}} } = \left( {1 + 2\sqrt {1 – {2^{2x}}} } \right){.2^x}.$ Giải Điều kiện: $1 – {2^{2x}} \ge 0$ $ \Leftrightarrow {2^{2x}} \le 1 \Leftrightarrow x \le 0.$ Với $x \le 0 \Rightarrow 0 < {2^x} \le 1$, đặt ${2^x} = \sin t;$ $t \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).$ Phương trình đã cho trở thành: $\sqrt {1 + \sqrt {1 – {{\sin }^2}t} } $ $ = \sin t\left( {1 + 2\sqrt {1 – {{\sin }^2}t}…

Xem tiếp...
Posted in hàm số mũ và hàm số logarit

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số giải hàm số mũ

Chuyển phương trình đã cho về dạng $f\left( x \right) = k.$ Nhẩm $1$ nghiệm $x = {x_0}$, ta chứng minh $x = {x_0}$ là nghiệm duy nhất. Tính chất 1: Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên $\left( {a;b} \right)$ thì số nghiệm của phương trình: $f\left( x \right) = k$ (trên $\left( {a;b} \right)$) không nhiều hơn một và $f\left( u \right) = f\left( v \right) \Leftrightarrow u = v$ $\forall u,v \in \left( {a;b} \right).$ Tính chất 2: Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến); hàm…

Xem tiếp...