Đặt ẩn phụ hàm logarit

Phương pháp: $f\left[ {{{\log }_a}g\left( x \right)} \right] = 0$ $\left( {0 < a \ne 1} \right)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = {\log _a}g\left( x \right)\\
f\left( t \right) = 0
\end{array} \right.$
Ta chú ý công thức đổi cơ số: ${\log _b}x = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}b}}$ $ \Rightarrow {\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}$ $\forall a, b, x > 0; a, b \ne 1.$

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

1. ${\log _2}x + \sqrt {10{{\log }_2}x + 6} = 9.$

2. $\sqrt {{{\log }_9}x + 1} + \sqrt {{{\log }_3}x + 3} = 5.$

3. ${4^{{{\log }_2}2{\rm{x}}}} – {x^{{{\log }_2}6}} = {2.3^{{{\log }_2}4{x^2}}}.$

Giải

1. Điều kiện: $x > 0$ và $10{\log _2}x + 6 \ge 0.$

Đặt $t = {\log _2}x$, phương trình đã cho đưa về dạng: $\sqrt {10t + 6} = 9 – t$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9 – t \ge 0\\
10t + 6 = {\left( {9 – t} \right)^2}
\end{array} \right.$ từ đây ta tìm được $t = 3$ tức $x = 8.$

Vậy, phương trình cho có nghiệm $x = 8.$

2. Điều kiện: $x > 0$ và ${\log _3}x + 3 \ge 0,$ ${\log _9}x + 1 \ge 0.$

Đặt $t = {\log _3}x$, phương trình đã cho về dạng $\sqrt {\frac{1}{2}t + 1} + \sqrt {t + 3} = 5$ $(1).$

Với điều kiện $t \ge – 2$, bình phương hai vế của $(1)$ và rút gọn ta được: $\sqrt {\frac{1}{2}{t^2} + \frac{5}{2}t + 3} = 21 – \frac{3}{2}t$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 2 \le t \le 14\\
{t^2} – 292t + 1716 = 0
\end{array} \right.$ $⇒t = 6$ tức $x = 64.$

Vậy, phương trình cho có nghiệm $x = 64.$

3. Điều kiện: $x > 0.$

Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow {4^{1 + {{\log }_2}x}} – {6^{{{\log }_2}x}} = {2.3^{2 + 2{{\log }_2}x}}$ $ \Leftrightarrow {4.4^{{{\log }_2}x}} – {6^{{{\log }_2}x}} – {18.9^{{{\log }_2}x}} = 0$ $ \Leftrightarrow 4.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{{\log }_2}x}} – {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{{\log }_2}x}} – 18 = 0.$

Đặt $t = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{{\log }_2}x}}, t > 0$, ta có: $4{t^2} – t – 18 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{9}{4}$ $ \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{{\log }_2}x}} = \frac{9}{4} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ – 2}}$ $ \Leftrightarrow {\log _2}x = – 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}.$

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{1}{4}.$

Ví dụ 2. Giải phương trình: ${\log _2}x{\left( {x – 1} \right)^2}$ $ + {\log _2}x.{\log _2}\left( {{x^2} – x} \right) – 2 = 0.$

Giải

Điều kiện: $x > 1.$

Biến đổi phương trình về dạng:

${\log _2}\frac{{{{\left( {{x^2} – x} \right)}^2}}}{x}$ $ + {\log _2}x.{\log _2}\left( {{x^2} – x} \right) – 2 = 0$

$ \Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {{x^2} – x} \right) – {\log _2}x$ $ + {\log _2}x.{\log _2}\left( {{x^2} – x} \right) – 2 = 0$ $(*).$

Đặt $u = {\log _2}\left( {{x^2} – x} \right)$ và $v = {\log _2}x.$ Đưa phương trình $(*)$ về phương trình:

$\left( {u – 1} \right)\left( {v + 2} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow u = 1$ hoặc $v = – 2.$

  • Với $u = 1$ thì ${\log _2}\left( {{x^2} – x} \right) = 1$ $ \Leftrightarrow {x^2} – x = 2 \Leftrightarrow x = 2.$
  •  Với $v = – 2$ thì ${\log _2}x = – 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$ (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = 2.$

Author: admin