Biến đổi, quy về cùng cơ số hàm logarit

Phương pháp:
${\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < a \ne 1\\
f\left( x \right) = g\left( x \right) > 0
\end{array} \right.$

Phương trình logarit cơ bản: ${\log _a}x = b$, $\left( {0 < a \ne 1} \right).$

  •  ${\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}$, $\left( {0 < a \ne 1} \right)$.
  •  $\lg x = b \Leftrightarrow x = {10^b}$, $\ln x = b \Leftrightarrow x = {e^b}$.

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

1. ${\log _{25}}{\left( {4x + 5} \right)^2} + {\log _5}x = {\log _3}27.$

2. ${\log _2}x + {\log _3}x + {\log _4}x = {\log _{20}}x.$

Giải

1. Điều kiện: $x > 0.$
Phương trình đã cho trở thành: ${\log _5}\left( {4x + 5} \right) + {\log _5}x = 3$ $ \Leftrightarrow {\log _5}(4{x^2} + 5x) = 3$ $ \Leftrightarrow 4{x^2} + 5x = 125$ $ \Leftrightarrow x = 5$ hoặc $x = \frac{{25}}{4}.$

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = 5$ hoặc $x = \frac{{25}}{4}.$

2. Điều kiện $x > 0.$ Bài toán áp dụng công thức đổi cơ số ${\log _a}x = \frac{{{{\log }_b}x}}{{{{\log }_b}a}}.$
Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow {\log _2}x + \frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}3}} + \frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}4}} = \frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}20}}$
$ \Leftrightarrow {\log _2}x\left( {1 + \frac{1}{{{{\log }_2}3}} + \frac{1}{{{{\log }_2}4}} – \frac{1}{{{{\log }_2}20}}} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow {\log _2}x = 0 \Leftrightarrow x = 1.$

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = 1.$

Chú ý: Ngoài ra bài toán trên ta có thể dùng công thức ${\log _a}x = \frac{{\ln x}}{{\ln a}}$ sẽ giải quyết nhanh gọn và đẹp hơn.

Ví dụ 2. Giải phương trình: ${\log _3}{\left( {x – 2} \right)^2} + {\log _{\sqrt 3 }}\frac{x}{{{x^2} – 3x + 3}} = 0.$

Giải

Điều kiện: $0 < x \ne 2.$

Phương trình đã cho viết lại ${\log _3}{\left( {x – 2} \right)^2} + {\log _3}{\left( {\frac{x}{{{x^2} – 3x + 3}}} \right)^2} = 0$

$ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {{{\left( {x – 2} \right)}^2}.{{\left( {\frac{x}{{{x^2} – 3x + 3}}} \right)}^2}} \right] = 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {x – 2} \right)^2}.{\left( {\frac{x}{{{x^2} – 3x + 3}}} \right)^2} = 1.$

Giải phương trình này ta được $x = 1, x = \frac{3}{2}, x = 3.$

Ví dụ 3. Giải phương trình: ${\log _2}\left( {8 – {x^2}} \right)$ $+ {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 – x} } \right) – 2 = 0.$

Giải

Với $x \in \left[ { – 1;1} \right]$ phương trình đã cho viết lại: ${\log _2}\left( {8 – {x^2}} \right)$ $ = 2 + {\log _2}\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 – x} } \right)$
$ \Leftrightarrow 8 – {x^2} = 4\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 – x} } \right)$ $(*).$

Đặt $t = \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 – x} $, phương trình $(*)$ trở thành: ${\left( {{\rm{t}} – {\rm{2}}} \right)^{\rm{2}}}\left( {{{\rm{t}}^{\rm{2}}} + {\rm{4t}} + {\rm{8}}} \right) = 0$, phương trình này có nghiệm $t = 2$ hay $\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 – x} = 2$. Bình phương $2$ vế và rút gọn ta được $x = 0.$

Ví dụ 4. Giải phương trình: $\lg \sqrt {1 + x} + 3\lg \sqrt {1 – x} – 2 = \lg \sqrt {1 – {x^2}} .$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
1 + x > 0\\
1 – x > 0\\
1 – {x^2} > 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow – 1 < x < 1.$

Để ý: $\lg \sqrt {1 – {x^2}} = \lg \sqrt {1 + x} \sqrt {1 – x} $ $ = \lg \sqrt {1 + x} + \lg \sqrt {1 – x} .$

Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow \lg \sqrt {1 + x} + 3\lg \sqrt {1 – x} – 2$ $ = \lg \sqrt {1 + x} + \lg \sqrt {1 – x} $
$ \Leftrightarrow \lg \sqrt {1 – x} = 1$ $ \Leftrightarrow \sqrt {1 – x} = 10$ $ \Leftrightarrow 1 – x = 100 \Leftrightarrow x = – 99.$

Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình vô nghiệm.

Author: admin