Giải bất phương trình logarit

Ví dụ 1. Giải bất phương trình:

1. ${\log _2}\left( {\sqrt {3x + 1} + 6} \right) – 1$ $ \ge {\log _2}\left( {7 – \sqrt {10 – x} } \right).$

2. ${\log _2}\frac{{5 – 12x}}{{12x – 8}} + {\log _{\frac{1}{2}}}x \le 0.$

Giải

1. Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
3x + 1 \ge 0\\
10 – x \ge 0\\
7 – \sqrt {10 – x} > 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow – \frac{1}{3} \le x \le 10.$
Bất phương trình tương đương với ${\log _2}\frac{{\sqrt {3x + 1} + 6}}{2}$ $ \ge {\log _2}\left( {7 – \sqrt {10 – x} } \right)$

$ \Leftrightarrow \sqrt {3x + 1} + 6 \ge 2\left( {7 – \sqrt {10 – x} } \right)$

$ \Leftrightarrow \sqrt {3x + 1} + 2\sqrt {10 – x} \ge 8$

$ \Leftrightarrow {\rm{49}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}–{\rm{ 418x }} + {\rm{ 369 }} \le {\rm{ }}0$

$ \Leftrightarrow {\rm{1 }} \le {\rm{ x }} \le \frac{{369}}{{49}}$ (thoả điều kiện).

Vậy, bất phương trình đã cho có nghiệm ${\rm{1 }} \le {\rm{ x }} \le \frac{{369}}{{49}}.$

2. Bất phương trình đã cho tương đương với $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{5 – 12x}}{{12x – 8}} \le x\\
\frac{{5 – 12x}}{{12x – 8}} > 0
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{ – 12{x^2} – 4x + 5}}{{12x – 8}} \le 0\\
\frac{{5 – 12x}}{{12x – 8}} > 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
– \frac{5}{6} \le x \le \frac{1}{2}\\
x > \frac{2}{3}
\end{array} \right.\\
\frac{5}{{12}} < x < \frac{2}{3}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \frac{5}{{12}} < x \le \frac{1}{2}.$

Vậy, bất phương trình đã cho có nghiệm $\frac{5}{{12}} < x \le \frac{1}{2}.$

Author: admin