Tháng Bảy 2, 2022

Biểu diễn logarit

Để tính ${\log _a}b$ theo $m = {\log _a}x$, $n = {\log _a}y$ ta biến đổi $b = {a^\alpha }{x^\beta }{y^\gamma }$ từ đó suy ra ${\log _a}b = {\log _a}\left( {{a^\alpha }{x^\beta }{y^\gamma }} \right) = \alpha + m\beta + n\gamma .$

Ví dụ 1: Cho ${\log _2}6 = a$. Tính giá trị của ${\log _3}18$ theo $a$?

Giải

Ta có: $a = {\log _2}6 = {\log _2}(2.3)$ $ = 1 + {\log _2}3$ $ \Rightarrow {\log _3}2 = \frac{1}{{a – 1}}.$
Suy ra ${\log _3}18 = {\log _3}\left( {{{2.3}^2}} \right) = {\log _3}2 + 2$ $ = \frac{1}{{a – 1}} + 2 = \frac{{2a – 1}}{{a – 1}}.$

Ví dụ 2: Cho $a = {\log _3}15$, $b = {\log _3}10$. Tính giá trị của ${\log _{\sqrt 3 }}50$ theo $a$, $b$?

Giải

Ta có $a = {\log _3}15 = {\log _3}(3.5)$ $ = 1 + {\log _3}5$ $ \Rightarrow {\log _3}5 = a – 1.$
Khi đó ${\log _{\sqrt 3 }}50 = 2{\log _3}(5.10)$ $ = 2\left( {{{\log }_3}5 + {{\log }_3}10} \right)$ $ = 2(a – 1 + b).$

Ví dụ 3: Cho ${\log _{27}}5 = a$, ${\log _8}7 = b$, ${\log _2}3 = c.$ Tính giá trị của ${\log _6}35$ theo $a$, $b$, $c$?

Giải

Ta có:
${\log _{27}}5 = a \Rightarrow {\log _3}5 = 3a.$
${\log _8}7 = b \Rightarrow {\log _2}7 = 3b.$
$ \Rightarrow {\log _2}5 = {\log _2}3.{\log _3}5 = 3ac.$
$ \Rightarrow {\log _6}35 = \frac{{{{\log }_2}35}}{{{{\log }_2}6}}$ $ = \frac{{{{\log }_2}5.{{\log }_2}7}}{{{{\log }_2}2.{{\log }_2}3}} = \frac{{3(ac + b)}}{{1 + c}}.$

Ví dụ 4: Đặt $a = {\log _2}3$, $b = {\log _5}3.$ Hãy biểu diễn ${\log _6}45$ theo $a$ và $b.$

Giải

Ta có: ${\log _6}45 = \frac{{{{\log }_2}45}}{{{{\log }_2}6}}$ $ = \frac{{{{\log }_2}{3^2}.5}}{{{{\log }_2}2.3}} = \frac{{2{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}}{{1 + {{\log }_2}3}}$ $ = \frac{{2{{\log }_2}3 + {{\log }_2}3.{{\log }_3}5}}{{1 + {{\log }_2}3}}$ $ = \frac{{2a + a.\frac{1}{b}}}{{1 + a}} = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}.$

Ví dụ 5: Biết $a = {\log _2}5$, $b = {\log _5}3$. Khi đó giá trị của ${\log _{24}}15$ được tính theo $a$ và $b$ là?

Giải

${\log _{24}}15 = \frac{{{{\log }_2}15}}{{{{\log }_2}24}}$ $ = \frac{{{{\log }_2}3.5}}{{{{\log }_2}{{3.2}^3}}} = \frac{{{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3 + 3}}$ $ = \frac{{{{\log }_2}3 + {{\log }_2}3.{{\log }_3}5}}{{{{\log }_2}3 + 3}}$ $ = \frac{{a + a \cdot \frac{1}{b}}}{{3 + a}} = \frac{{a + ab}}{{ab + 3b}}.$

Ví dụ 6: Cho ${\log _{12}}27 = a$. Khi đó giá trị của ${\log _6}16$ được tính theo $a$ là?

Giải

Ta có $a = {\log _{12}}27$ $ = \frac{{{{\log }_2}27}}{{{{\log }_2}12}} = \frac{{3{{\log }_2}3}}{{2 + {{\log }_2}3}}$ $ \Rightarrow {\log _2}3 = \frac{{2a}}{{3 – a}}$ $ \Rightarrow {\log _6}16 = \frac{{4(3 – a)}}{{3 + a}}.$

Ví dụ 7: Cho $a = {\log _2}3$, $b = {\log _3}5$, $c = {\log _7}2$. Khi đó giá trị của biểu thức ${\log _{140}}63$ được tính theo $a$, $b$, $c$ là?

Giải

${\log _{140}}63 = \frac{{{{\log }_2}63}}{{{{\log }_2}140}}$ $ = \frac{{{{\log }_2}{3^2}.7}}{{{{\log }_2}{2^2}5.7}}$ $ = \frac{{2{{\log }_2}3 + {{\log }_2}7}}{{2 + {{\log }_2}5 + {{\log }_2}7}}$ $ = \frac{{2{{\log }_2}3 + \frac{1}{{{{\log }_7}2}}}}{{2 + {{\log }_2}3.{{\log }_3}5 + {{\log }_7}2}}$ $ = \frac{{2a + \frac{1}{c}}}{{2 + ab + \frac{1}{c}}}$ $ = \frac{{1 + 2ac}}{{1 + 2c + abc}}.$

Ví dụ 8: Cho số thực $x$ thỏa mãn $\log x = \frac{1}{2}\log 3a – 2\log b + 3\log \sqrt c $ ($a$, $b$, $c$ là các số thực dương). Hãy biểu diễn $x$ theo $a$, $b$, $c.$

Giải

Ta có $\log x = \frac{1}{2}\log 3a – 2\log b + 3\log \sqrt c $ $ \Leftrightarrow \log x = \log \sqrt {3a} – \log {b^2} + \log \sqrt {{c^3}} $ $ \Leftrightarrow \log x = \log \frac{{\sqrt {3a{c^3}} }}{{{b^2}}}$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt {3a{c^3}} }}{{{b^2}}}.$

Ví dụ 9: Cho $a = {\log _4}3$, $b = {\log _{25}}2$. Hãy tính ${\log _{60}}\sqrt {150} $ theo $a$, $b.$

Giải

${\log _{60}}\sqrt {150} = \frac{1}{2}\frac{{{{\log }_{25}}150}}{{{{\log }_{25}}60}}$ $ = \frac{1}{2}\frac{{{{\log }_{25}}25 + {{\log }_{25}}2 + {{\log }_{25}}3}}{{{{\log }_{25}}5 + {{\log }_{25}}4 + {{\log }_{25}}3}}$ $ = \frac{{1 + {{\log }_{25}}2 + 2{{\log }_4}3.{{\log }_{25}}2}}{{2{{\log }_{25}}5 + 4{{\log }_{25}}2 + 4{{\log }_4}3.{{\log }_{25}}2}}$ $ = \frac{{1 + a + 2ab}}{{1 + 4b + 4ab}}.$

Ví dụ 10: Biết ${\log _{27}}5 = a$, ${\log _8}7 = b$, ${\log _2}3 = c$ thì ${\log _{12}}35$ tính theo $a$, $b$, $c$ bằng?

Ta có ${\log _{27}}5 = \frac{1}{3}{\log _3}5 = a$ $ \Leftrightarrow {\log _3}5 = 3a$, ${\log _8}7 = \frac{1}{3}{\log _2}7 = b$ $ \Leftrightarrow {\log _2}7 = 3b.$

Giải

Mà ${\log _{12}}35 = \frac{{{{\log }_2}(7.5)}}{{{{\log }_2}\left( {{{3.2}^2}} \right)}}$ $ = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3 + 2}}$ $ = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}3.{{\log }_3}5}}{{{{\log }_2}3 + 2}}$ $ = \frac{{3b + c.3a}}{{c + 2}} = \frac{{3(b + ac)}}{{c + 2}}.$