Tháng Bảy 4, 2022

Rút gọn biểu thức logarit

Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức: $B = 2{\log _2}12 + 3{\log _2}5$ $ – {\log _2}15 – {\log _2}150.$

Giải

Ta có: $B = 2{\log _2}12 + 3{\log _2}5$ $ – {\log _2}15 – {\log _2}150$ $ = 2{\log _2}\left( {{2^2}.3} \right) + 3{\log _2}5$ $ – {\log _2}3.5 – {\log _2}\left( {{{2.3.5}^2}} \right)$ $ = 2\left( {2 + {{\log }_2}3} \right) + 3{\log _2}5$ $ – \left( {{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5} \right)$ $ – \left( {1 + {{\log }_2}3 + 2{{\log }_2}5} \right)$ $ = 3.$

Ví dụ 2: Cho $a,b > 0$ và $a,b \ne 1$. Tính giá trị biểu thức $P = {\log _{\sqrt a }}{b^2} + \frac{2}{{{{\log }_{\frac{a}{b}}}a}}.$

Giải

Ta có: $P = {\log _{\sqrt a }}{b^2} + \frac{2}{{{{\log }_{\frac{a}{{{b^2}}}}}a}}$ $ = 4{\log _a}b + 2{\log _a}\frac{a}{{{b^2}}}$ $ = 4{\log _a}b + 2\left( {{{\log }_a}a – {{\log }_a}{b^2}} \right) = 2.$

Ví dụ 3: Cho $a$, $b$ là các số thực dương và $ab \ne 1$ thỏa mãn ${\log _{ab}}{a^2} = 3$ thì giá trị của ${\log _{ab}}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}}$ bằng bao nhiêu?

Giải

${\log _{ab}}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}} = \frac{1}{3}{\log _{ab}}\frac{a}{b} = \frac{1}{3}{\log _{ab}}\frac{{{a^2}}}{{ab}}$ $ = \frac{1}{3}\left( {{{\log }_{ab}}{a^2} – {{\log }_{ab}}ab} \right)$ $ = \frac{1}{3}\left( {{{\log }_{ab}}{a^2} – 1} \right).$
Giả thiết ${\log _{ab}}{a^2} = 3$ nên ${\log _{ab}}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}} = \frac{1}{3}(3 – 1) = \frac{2}{3}.$

Ví dụ 4: Cho $x = 2000!$. Tính giá trị của biểu thức $A = \frac{1}{{{{\log }_2}x}} + \frac{1}{{{{\log }_3}x}} + \ldots + \frac{1}{{{{\log }_{2000}}x}}.$

Giải

Ta có $A = {\log _x}2 + {\log _x}3 + \ldots + {\log _x}2000$ $ = {\log _x}(1.2.3…2000) = {\log _x}x = 1.$

Ví dụ 5: Có tất cả bao nhiêu số dương $a$ thỏa mãn đẳng thức ${\log _2}a + {\log _3}a + {\log _5}a$ $ = {\log _2}a.{\log _3}a.{\log _5}a?$

Giải

${\log _2}a + {\log _3}a + {\log _5}a$ $ = {\log _2}a.{\log _3}a.{\log _5}a$ $ \Leftrightarrow {\log _2}a + {\log _3}2.{\log _2}a + {\log _5}2.{\log _2}a$ $ = {\log _2}a.{\log _3}5.{\log _5}a.{\log _5}a$ $ \Leftrightarrow {\log _2}a.\left( {1 + {{\log }_3}2 + {{\log }_5}2} \right)$ $ = {\log _2}a.{\log _3}5.\log _5^2a$ $ \Leftrightarrow {\log _2}a.\left( {1 + {{\log }_3}2 + {{\log }_5}2 – {{\log }_3}5.\log _5^2a} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_2}a = 0}\\
{1 + {{\log }_3}2 + {{\log }_5}2 – {{\log }_3}5.\log _5^2a = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 1}\\
{{{\log }_5}a = \pm \sqrt {\frac{{1 + {{\log }_3}2 + {{\log }_5}2}}{{{{\log }_3}5}}} }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 1}\\
{a = {5^{\frac{{\sqrt {1 + {{\log }_3}2 + {{\log }_5}2} }}{{{{\log }_3}5}}}}}
\end{array}} \right.$

Ví dụ 6: Tính giá trị của biểu thức $P = \ln \left( {\tan {1^0}} \right) + \ln \left( {\tan {2^0}} \right) $ $+ \ln \left( {\tan {3^0}} \right) + \ldots + \ln \left( {\tan {{89}^0 }} \right).$

Giải

$P = \ln \left( {\tan {1^0}} \right) + \ln \left( {\tan {2^0}} \right) $ $+ \ln \left( {\tan {3^0}} \right) + \ldots + \ln \left( {\tan {{89}^0 }} \right)$ $ = \ln \left( {\tan {1^0 }.\tan {2^0 }.\tan {3^0 } \ldots \tan {{89}^0 }} \right)$ $ = \ln \left( {\tan {1^0 }.\tan {2^0 }.\tan {3^0 } \ldots \tan {{45}^0 }.\cot {{44}^0 }.\cot {{43}^0 } \ldots \cot {1^0 }} \right)$ $ = \ln \left( {\tan {{45}^0 }} \right) = \ln 1 = 0$ (vì $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$).

Ví dụ 7: Cho $a$, $b$ là các số thực dương thỏa mãn $a \ne 1$, $a \ne \sqrt b $ và ${\log _a}b = \sqrt 3 .$ Tính $P = {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\sqrt {\frac{b}{a}} .$

Giải

$P = \frac{{{{\log }_a}\sqrt {\frac{b}{a}} }}{{{{\log }_a}\frac{{\sqrt b }}{a}}} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {{{\log }_a}b – 1} \right)}}{{{{\log }_a}\sqrt b – 1}}$ $ = \frac{{\frac{1}{2}(\sqrt 3 – 1)}}{{\frac{1}{2}{{\log }_a}b – 1}}$ $ = \frac{{\sqrt 3 – 1}}{{\sqrt 3 – 2}} = – 1 – \sqrt 3 .$

Ví dụ 8: Tính giá trị của biểu thức $P = {\log _{{a^2}}}\left( {{a^{10}}{b^2}} \right) + {\log _{\sqrt a }}\left( {\frac{a}{{\sqrt b }}} \right) + {\log _{\sqrt[3]{b}}}{b^{ – 2}}$ (với $0 < a \ne 1$, $0 < b \ne 1$).

Giải

$P = {\log _{{a^2}}}\left( {{a^{10}}{b^2}} \right)$ $ + {\log _{\sqrt a }}\left( {\frac{a}{{\sqrt b }}} \right) + {\log _{\sqrt[3]{b}}}{b^{ – 2}}$ $ = \frac{1}{2}\left[ {{{\log }_a}{a^{10}} + {{\log }_a}{b^2}} \right]$ $ + 2\left[ {{{\log }_a}a – {{\log }_a}\sqrt b } \right]$ $ + 3.( – 2){\log _b}b$ $ = \frac{1}{2}\left[ {10 + 2{{\log }_a}b} \right]$ $ + 2\left[ {1 – \frac{1}{2}{{\log }_a}b} \right] – 6 = 1.$