by A. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
1. So sánh hai logarit cũng cơ số: Cho số dương $a \ne 1$ và các số dương $b$, $c$:
- Khi $a > 1$ thì ${\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c.$
- Khi $0 < a < 1$ thì ${\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c.$
Hệ quả: Cho số dương $a \ne 1$ và các số dương $b$, $c$:
- Khi $a > 1$ thì ${\log _a}b > 0 \Leftrightarrow b > 1.$
- Khi $0 < a < 1$ thì ${\log _a}b > 0 \Leftrightarrow b < 1.$
- ${\log _a}b = {\log _a}c \Leftrightarrow b = c.$
2. Logarit của một tích: Cho ba số dương $a$, ${b_1}$, ${b_2}$ với $a \ne 1$, ta có: ${\log _a}\left( {{b_1}.{b_2}} \right) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2}.$
3. Logarit của một thương: Cho ba số dương $a$, ${b_1}$, ${b_2}$ với $a \ne 1$, ta có: ${\log _a}\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = {\log _a}{b_1} – {\log _a}{b_2}.$ Đặc biệt: với $a,b > 0$, $a \ne 1$, ta có ${\log _a}\frac{1}{b} = – {\log _a}b.$
4. Logarit của lũy thừa: Cho $a,b > 0$, $a \ne 1$, với mọi $\alpha $, ta có: ${\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b.$ Đặc biệt: ${\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b.$
5. Công thức đổi cơ số: Cho ba số dương $a$, $b$, $c$ với $a \ne 1$, $c \ne 1$ ta có: ${\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.$ Đặc biệt: ${\log _a}c = \frac{1}{{{{\log }_c}a}}$ và ${\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b$ với $\alpha \ne 0.$
