Phương pháp lượng giác hóa hàm số mũ

Phương pháp:
Chọn thích hợp để đặt ${a^x} = \sin t$ hoặc ${a^x} = \cos t$ $\left( {0 < a \ne 1} \right).$

Ví dụ. Giải phương trình: $\sqrt {1 + \sqrt {1 – {2^{2x}}} } = \left( {1 + 2\sqrt {1 – {2^{2x}}} } \right){.2^x}.$

Giải

Điều kiện: $1 – {2^{2x}} \ge 0$ $ \Leftrightarrow {2^{2x}} \le 1 \Leftrightarrow x \le 0.$

Với $x \le 0 \Rightarrow 0 < {2^x} \le 1$, đặt ${2^x} = \sin t;$ $t \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).$

Phương trình đã cho trở thành: $\sqrt {1 + \sqrt {1 – {{\sin }^2}t} } $ $ = \sin t\left( {1 + 2\sqrt {1 – {{\sin }^2}t} } \right)$

$ \Leftrightarrow \sqrt {1 + \cos t} = \left( {1 + 2\cos t} \right)\sin t$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \frac{t}{2} = \sin t + \sin 2t$

$ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \frac{t}{2} = 2\sin \frac{{3t}}{2}\cos \frac{t}{2}$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \frac{t}{2}\left( {1 – \sqrt 2 \sin \frac{{3t}}{2}} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos \frac{t}{2} = 0\\
\sin \frac{{3t}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \frac{\pi }{6}\\
t = \frac{\pi }{2}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{2^x} = \frac{1}{2}\\
{2^x} = 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 1\\
x = 0
\end{array} \right.$

Vậy, phương trình cho có $2$ nghiệm $x = – 1$ hoặc $x = 0.$

Author: admin