by Chuyển phương trình đã cho về dạng $f\left( x \right) = k.$
Nhẩm $1$ nghiệm $x = {x_0}$, ta chứng minh $x = {x_0}$ là nghiệm duy nhất.
- Tính chất 1: Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên $\left( {a;b} \right)$ thì số nghiệm của phương trình: $f\left( x \right) = k$ (trên $\left( {a;b} \right)$) không nhiều hơn một và $f\left( u \right) = f\left( v \right) \Leftrightarrow u = v$ $\forall u,v \in \left( {a;b} \right).$
- Tính chất 2: Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến); hàm số $y = g\left( x \right)$ liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên $D$ thì số nghiệm trên $D$ của phương trình: $f\left( x \right) = g\left( x \right)$ không nhiều hơn một.
- Tính chất 3: Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên $D$ thì $f\left( u \right) > f\left( v \right) \Leftrightarrow u > v$ $(u < v)$ $\forall u,v \in D$.
- Tính chất 4: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và có đạo hàm trên khoảng $\left( {a;b} \right).$ Nếu $f\left( a \right) = f\left( b \right)$ thì phương trình $f’\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left( {a;b} \right).$
Hệ quả 1: Nếu phương trình $f\left( x \right) = 0$ có $m$ nghiệm thì phương trình $f’\left( x \right) = 0$ có $m – 1$ nghiệm.
Hệ quả 2: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm đến cấp $k$ liên tục trên $\left( {a;b} \right).$ Nếu phương trình ${f^{\left( k \right)}}\left( x \right) = 0$ có đúng $m$ nghiệm thì phương trình ${f^{\left( {k – 1} \right)}}\left( x \right) = 0$ có nhiều nhất là $m + 1$ nghiệm.
Ví dụ 1. Giải các phương trình:
1. ${\left( {\sqrt {15} } \right)^x} + 1 = {4^x}.$
2. ${4^x} + {5^x} = 9.$
3. $x + \sqrt {{x^2} + 1} = {5^x}.$
Giải
1. Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{4}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x} = 1$ $(*).$
Ta thấy vế trái của $(*)$ là một hàm số nghịch biến và $x = 2$ là một nghiệm của phương trình, nên $x = 2$ là nghiệm duy nhất của $(*).$
Vậy, phương trình cho có nghiệm $x = 2.$
2. Nhận xét $x = 1$ là nghiệm của phương trình đã cho vì ${4^1} + {5^1} = 9.$
Ta chứng minh phương trình cho có nghiệm duy nhất là $x = 1.$
Thật vậy, xét hàm số $f\left( x \right) = {4^x} + {5^x}$ xác định trên $R.$
Vì $f’\left( x \right) = {4^x}\ln 4 + {5^x}\ln 5 > 0$ với mọi $x$ thuộc $R$ nên $f\left( x \right)$ đồng biến trên $R$.
Do đó:
- Với $x > 1$ thì $f\left( x \right) > f\left( 1 \right)$ hay ${4^x} + {5^x} > 9$, nên phương trình cho không thể có nghiệm $x > 1.$
- Với $x < 1$ thì $f\left( x \right) < f\left( 1 \right)$ hay ${4^x} + {5^x} < 9$, nên phương trình cho không thể có nghiệm $x < 1.$
Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất $x = 1$.
3. Phương trình cho $ \Leftrightarrow \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) – x\ln 5 = 0.$
Xét hàm số $f(x) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) – x\ln 5$ có $f'(x) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} – \ln 5 < 0$ $ \Rightarrow f(x)$ là hàm nghịch biến.
Hơn nữa $f(0) = 0$ $ \Rightarrow x = 0$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Ví dụ 2. Giải các phương trình:
1. ${3^{2{x^3} – x + 2}} – {3^{{x^3} + 2x}} + {x^3} – 3x + 2 = 0.$
2. ${2^{x – 1}} – {2^{{x^2} – x}} = {\left( {x – 1} \right)^2}.$
Giải
1. Phương trình đã cho $⇔{3^{2{x^3} – x + 2}} + 2{x^3} – x + 2$ $= {3^{{x^3} + 2x}} + {x^3} + 2x$, có dạng $f\left( {2{x^3} – x + 2} \right) = f\left( {{x^3} + 2x} \right)$. Xét hàm số $f\left( t \right) = {3^t} + t$, $t \in R$ ta có: $f’\left( t \right) = {3^t}\ln 3 + 1 > 0$, $\forall t \in R$ nên $f\left( t \right)$ đồng biến trên $R.$ Phương trình đã cho tương đương $2{x^3} – x + 2 = {x^3} + 2x$, phương trình này có nghiệm $x = – 2,$ $x = 1.$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm: $x = – 2,$ $x = 1.$
2. Đặt $u = x – 1,$ $v = {x^2} – x,$ phương trình đã cho viết về dạng: ${2^u} + u = {2^v} + v.$
Hàm số $f\left( t \right) = {2^t} + t$ luôn đồng biến trên $R$, do đó $f\left( u \right) = f\left( v \right)$ xảy ra khi $u = v$ tức $x = 1$ thỏa bài toán.
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm: $x = 1.$
