Tháng Bảy 7, 2022

Phương pháp ẩn phụ không hoàn toàn

Ví dụ. Giải các phương trình:
1. ${3.4^x} + (3x – 10){2^x} + 3 – x = 0.$
2. ${9^x} – 2\left( {x + 5} \right){.3^x} + 9\left( {2x + 1} \right) = 0.$

1. Đặt $t = {2^x}, t > 0$, ta có phương trình:
$3{t^2} + (3x – 10)t + 3 – x = 0$ $(1).$

Ta xem $(1)$ là phương trình bậc hai ẩn $t$ và $x$ là tham số.

Phương trình này có: $\Delta = {(3x – 10)^2} – 12(3 – x) = {(3x – 8)^2}$
$ \Rightarrow (1) \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}$ hoặc $t = – x + 3.$

  • Với $t = \frac{1}{3} \Leftrightarrow {2^x} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = – {\log _2}3.$
  • Với $t = – x + 3$ $ \Leftrightarrow {2^x} + x = 3 \Leftrightarrow x = 1$ (Do $VT$ là một hàm đồng biến).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $x = – {\log _2}3; x = 1.$

2. Đặt $t = {3^x},$ $t > 0.$

Phương trình cho trở thành: ${t^2} – 2\left( {x + 5} \right)t + 9\left( {2x + 1} \right) = 0$ $(*)$, phương trình này có biệt số $\Delta’ = {\left( {x + 5} \right)^2} – 9\left( {2x + 1} \right) = {\left( {x – 4} \right)^2}.$

Vì $\Delta’ \ge 0$ nên phương trình $(*)$ có $2$ nghiệm: $t = 9$ hoặc $t = 2x + 1.$

  • Với $t = 9$ tức ${3^x} = 9 ⇔ x = 2.$
  •  Với $t = 2x + 1$ tức ${3^x} = 2x + 1$ $⇔x = 0$ hoặc $x = 1$ (Phương trình ${3^x} = 2x + 1$ có thể giải bằng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số $f(x) = 3^x – 2x – 1$ sẽ được đề cập ở dạng 5).

Vậy, phương trình cho có $3$ nghiệm: $x = 0$, $x = 1$, $x = 2.$