by Biết rằng đường thẳng $d: – 3x + m$ cắt đồ thị (C): $y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}$ tại hai điểm phân biệt A và B sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đồ thị (C), với $O\left( {0;0} \right)$ là gốc tọa độ. Khi đó giá trị của tham số m thuộc tập hợp nào sau đây?
A. $\left( { – \infty ; – 3} \right]$
B. $\left( {3; + \infty } \right)$
C. $\left( { – 2;3} \right]$
D. $\left( { – 5; – 2} \right]$
Hướng dẫn
Xét phương trình $\frac{{2x + 1}}{{x – 1}} = – 3x + m \Rightarrow 2x + 1 = \left( { – 3x + m} \right)\left( {x – 1} \right)$
$ \Leftrightarrow – 3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x – m – 1 = 0\left( 1 \right)$
Để đường thẳng d cắt đồ thị ( C ) tai hai điểm phân biệt thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} – 4.3.\left( {m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} – 10m – 11 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > – 1}\\{m < – 11}\end{array}} \right.$
Với điều kiện như trên thì d cắt ( C) tại 2 điểm phân biệt $A\left( {{x_A}; – 3{x_A} + m} \right);B\left( {{x_B}; – 3{x_B} + m} \right)$
Theo Viet ta có: ${x_A} + {x_B} = \frac{{1 + m}}{3}$
Gọi G là trọng tâm ∆ABC. Khi đó: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_O}}}{3} = \frac{{m + 1}}{9}}\\{{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_O}}}{3} = \frac{{ – 3\left( {{x_A} + {x_B}} \right) + 2m}}{3} = \frac{{m – 1}}{3}}\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow G\left( {\frac{{m + 1}}{9};\frac{{m – 1}}{3}} \right)$
Vì điểm G thuộc (C) nên $\frac{{m – 1}}{3} = \frac{{2.\frac{{m + 1}}{9} + 1}}{{\frac{{m + 1}}{9} – 1}}$.
Giải phương trình kết hợp với điều kiện suy ra $m \ge 3$
