by Cho hàm số $y = {x^3} – 6{x^2} + 9x + m$ (m là tham số thức) có đồ thị (C). Giả sử (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ ${x_1},{x_2},{x_3}$ (với ${x_1} < {x_2} < {x_3}$). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $0 < {x_1} < 1 < {x_2} < 3 < {x_3} < 4$
B. $1 < {x_1} < {x_2} < 3 < {x_3} < 4$
C. $1 < {x_1} < 3 < {x_2} < 4 < {x_3}$
D. ${x_1} < 0 < 1 < {x_2} < 3 < {x_3} < 4$
Hướng dẫn
Đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Khi đó PT ${x^3} – 6{x^2} + 9x + m = 0$có ba nghiệm phân biệt.
Suy ra PT ${x^3} – 6{x^2} + 9x = – m$ có ba nghiệm phân biệt, suy ra đường thẳng $y = – m$ cắt đồ thị hàm số $y = {x^3} – 6{x^2} + 9x$ tại 3 điểm phân biệt.
Xét hàm số $y = {x^3} – 6{x^2} + 9x$
$y’ = 3{x^2} – 12{x^2} + 9$
$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra: đồ thị hàm số $y = {x^3} – 6{x^2} + 9x$ cắt đường thẳng y=-m tại 3 điểm khi: 0<-m<4 hay $ – 4 < m < 0.$
