Tháng Mười Hai 9, 2022

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

Đồ thị hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D như hình vẽ bên. Biết rằng $AB = BC = CD$, mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $a > 0,b < 0,c > 0,100{b^2} = 9ac$
B. $a > 0,b > 0,c > 0,0,9{b^2} = 100ac$
C. $a > 0,b < 0,c > 0,9{b^2} = 100ac$
D. $a > 0,b > 0,c > 0,100{b^2} = 9ac$
Hướng dẫn
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {a{x^4} + b{x^2} + c} \right) = + \infty \Rightarrow a > 0$
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm như trong hình khi đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – \frac{b}{a} > 0}\\{\frac{c}{a} > 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b < 0}\\{c > 0}\end{array}} \right.$. Gọi ${x_1},{x_2}$ là nghiệm PT $a{x^4} + b{x^2} + c = 0$ suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = – \frac{b}{a}}\\{{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}}\\{x_A^2 = x_D^2 = {x_1}}\\{x_B^2 = x_C^2 = {x_2}}\end{array}} \right.$
Ta có $AB = BC = CD$, suy ra ${x_A} + {c_C} = 2{x_B} \Rightarrow – \sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = – 2\sqrt {{x_2}} \Leftrightarrow \sqrt {{x_1}} $
$ = 3\sqrt {{x_2}} \Leftrightarrow {x_1} = 9{x_2}\left( 3 \right)$
Từ (1), (2), (3) suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = – \frac{b}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\\{{x_1} = 9{x_2}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = – \frac{{9b}}{{10a}}}\\{{x_2} = – \frac{b}{{10a}}}\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{{9{b^2}}}{{100{a^2}}} \Rightarrow 9{b^2} = 100ac$
Suy ra $a > 0,b < 0,c > 0,9{b^2} = 100ac.$