Cho \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 5\). Tính giá trị biểu thức: \(A = {\left( {2x + 2y – z} \right)^2} + {\left( {2y + 2z – x} \right)^2} + {\left( {2z + 2x – y} \right)^2}\).

Cho \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 5\). Tính giá trị biểu thức: \(A = {\left( {2x + 2y – z} \right)^2} + {\left( {2y + 2z – x} \right)^2} + {\left( {2z + 2x – y} \right)^2}\).

Phương pháp giải:

+) Biến đổi biểu thức.

+) Đặt ẩn phụ

+) Thực hiện biến đổi biểu thức và tính toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}A = {\left( {2x + 2y – z} \right)^2} + {\left( {2y + 2z – x} \right)^2} + {\left( {2z + 2x – y} \right)^2}\\A = {\left( {2x + 2y + 2z – 3z} \right)^2} + {\left( {2y + 2z + 2x – 3x} \right)^2} + {\left( {2z + 2x + 2y – 3y} \right)^2}\end{array}\).

Đặt \(t = 2x + 2y + 2z\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = {\left( {t – 3z} \right)^2} + {\left( {t – 3x} \right)^2} + {\left( {t – 3y} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {t^2} – 6tz + 9{z^2} + {t^2} – 6tx + 9{x^2} + {t^2} – 6ty + 9{y^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{t^2} – 3t(2x + 2y + 2z) + 9({x^2} + {y^2} + {z^2})\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{t^2} – 3t.t + 9({x^2} + {y^2} + {z^2})\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{t^2} – 3{t^2} + 9({x^2} + {y^2} + {z^2})\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 9({x^2} + {y^2} + {z^2})\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 9.5 = 45.\end{array}\)

Vậy \(A = 45\).