by Cho hai biểu thức \(A = \frac{{x – 2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x – 3}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x – 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} – \frac{{x + 9}}{{x – 9}}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 9\)
1) Tính giá trị của biểu thức A khi \(x = 3\)
2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 3}}\)
3) So sánh \(\frac{A}{B}\) và 4.
A \(\begin{array}{l}1)\,\,A = – 5 – \sqrt 3 \\3)\,\,\frac{A}{B}\,\, \ge \,\,4\end{array}\)
B \(\begin{array}{l}1)\,\,A = 5 + \sqrt 3 \\3)\,\,\frac{A}{B}\,\, > \,\,4\end{array}\)
C \(\begin{array}{l}1)\,\,A = – 5 – \sqrt 3 \\3)\,\,\frac{A}{B}\,\, \le \,\,4\end{array}\)
D \(\begin{array}{l}1)\,\,A = 5 + \sqrt 3 \\3)\,\,\frac{A}{B}\,\, < \,\,4\end{array}\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: A
Phương pháp giải:
1) Thay \(x = 3\) vào A. Phân tích tử thức thành nhân tử và rút gọn.
2) Rút gọn B để được điều phải chứng minh.
3) Biến đổi \(\frac{A}{B}\) và dùng bất đẳng thức Cô-si để so sánh với 4.
Lời giải chi tiết:
Cho hai biểu thức \(A = \frac{{x – 2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x – 3}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x – 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} – \frac{{x + 9}}{{x – 9}}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 9\)
1) Tính giá trị của biểu thức A khi \(x = 3\)
Khi \(x = 3\) thì \(A = \frac{{3 – 2\sqrt 3 + 9}}{{\sqrt 3 – 3}} = \frac{{\left( { – 5 – \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 – 3} \right)}}{{\sqrt 3 – 3}} = – 5 – \sqrt 3 \)
2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 3}}\)
\(\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x – 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} – \frac{{x + 9}}{{x – 9}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 3} \right)}^2} + \sqrt x \left( {\sqrt x – 3} \right) – \left( {x + 9} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{x + 6\sqrt x + 9 + x – 3\sqrt x – x – 9}}{{\left( {\sqrt x – 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x – 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 3}}.\end{array}\)
3) So sánh \(\frac{A}{B}\) và 4.
\(\begin{array}{l}\frac{A}{B} = \frac{{x – 2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x – 3}}.\frac{{\sqrt x – 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{x – 2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x }}\\\;\;\; = \sqrt x – 2 + \frac{9}{{\sqrt x }}.\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(\sqrt x \) và \(\frac{9}{{\sqrt x }}\) ta có: \(\sqrt x + \frac{9}{{\sqrt x }} \ge 2.\sqrt {\sqrt x .\frac{9}{{\sqrt x }}} = 2.3 = 6.\)
\( \Rightarrow \frac{A}{B} = \left( {\sqrt x + \frac{9}{{\sqrt x }}} \right) – 2 \ge 6 – 2 = 4.\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{9}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 9\;\;\left( {tm} \right).\)
Vậy \(\frac{A}{B} \ge 4\).
Chọn A.
