Tháng Ba 29, 2024

Cho biểu thức \(P\left( x \right) = \frac{1}{x} + \frac{{9 – x}}{{x + 3\sqrt x }};\,\,\,Q\left( x \right) = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\). Tìm giá trị nguyên x nhỏ nhất thỏa mãn \(\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} \le \frac{1}{2}\) A \(x = 4\) B \(x = 5\) C Không tồn tại x thỏa mãn. D \(\forall x > 0\)

Cho biểu thức \(P\left( x \right) = \frac{1}{x} + \frac{{9 – x}}{{x + 3\sqrt x }};\,\,\,Q\left( x \right) = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\). Tìm giá trị nguyên x nhỏ nhất thỏa mãn \(\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} \le \frac{1}{2}\)

A \(x = 4\)

B \(x = 5\)

C Không tồn tại x thỏa mãn.

D \(\forall x > 0\)

Hướng dẫn Chọn đáp án là: A

Phương pháp giải:

Rút gọn \(P\left( x \right)\), sau đó giải bất phương trình \(\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} \le \frac{1}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = \frac{1}{x} + \frac{{9 – x}}{{x + 3\sqrt x }} = \frac{1}{x} + \frac{{\left( {3 – \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x \left( {3 + \sqrt x } \right)}}\\P\left( x \right) = \frac{1}{x} + \frac{{3 – \sqrt x }}{{\sqrt x }} = \frac{{1 + \left( {3 – \sqrt x } \right)\sqrt x }}{x} = \frac{{ – x + 3\sqrt x + 1}}{x}\end{array}\)

\(Q\left( x \right) = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\)

Suy ra :

\(\begin{array}{l}\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} \le \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{ – x + 3\sqrt x + 1}}{x}:\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} \le \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{ – x + 3\sqrt x + 1}}{x}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} \le \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{ – x + 3\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} \le \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow – 2x + 6\sqrt x + 2 \le x + \sqrt x \,\,\left( {Do\,\,\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) > 0} \right)\\ \Leftrightarrow 3x – 5\sqrt x – 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {3\sqrt x + 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x – 2 \ge 0\,\,\,\left( {Do\,\,3\sqrt x + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow x \ge 4\end{array}\)

Suy ra số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn \(x = 4\).

Vậy \(x = 4\).