by Cho \(A = \frac{{x + 2}}{{x\sqrt x – 1}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} + \frac{1}{{1 – \sqrt x }}\) với \(x \ge 0,x \ne 1.\)
a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị lớn nhất của A.
A \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\\
b)\,\,\max A = \frac{1}{3}
\end{array}\)
B \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\\
b)\,\,\max A = 3
\end{array}\)
C \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\\
b)\,\,\max A = \frac{1}{3}
\end{array}\)
D \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\\
b)\,\,\max A = 3
\end{array}\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: A
Phương pháp giải:
a) Sử dụng hằng đẳng thức, quy đồng và rút gọn biểu thức.
b) TH1: \(x = 0\)
TH2: \(x > 0\). Chia cả tử và mẫu cho \(\sqrt x \ne 0\). Sử dụng BĐT Cô – si để đánh giá.
Lời giải chi tiết:
a) Với \(x \ge 0,x \ne 1:\)
\(\begin{array}{l}A = \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} – \frac{1}{{\sqrt x – 1}}\\A = \frac{{x + 2 + \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right) – x – \sqrt x – 1}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\A = \frac{{x + 2 + x – 1 – x – \sqrt x – 1}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\A = \frac{{x – \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\A = \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}.\end{array}\)
b) Khi \(x = 0 \Rightarrow A = 0\).
Khi \(x > 0\) ta có: \(A = \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{1}{{\sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}}\).
Để A max thì \(B = \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} + 1\) min.
Áp dụng bất đăng thức Cô – si cho 2 số dương ta được:
\(\begin{array}{l}\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{1}{{\sqrt x }}} = 2 \Rightarrow \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} + 1 \ge 2 + 1 = 3\\ \Rightarrow B \ge 3 \Rightarrow A \le \frac{1}{3}\end{array}\)
Vậy giá trị lớn nhất của A là \(\frac{1}{3}\). Dấu bằng xảy ra khi: \(\sqrt x = \frac{1}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 1.\)
