by 1. Cho biểu thức: \(P = \frac{{{a^2} – 1}}{{{a^2} – a}}\) . Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức \(P\) tại \(a = – 2\).
2. Với \(x \ne \pm 2\) chứng minh đẳng thức:
\(\left( {\frac{x}{{2 + x}} – \frac{1}{{x – 2}} – \frac{{x + 3}}{{4 – {x^2}}}} \right):\left( {\frac{{{x^2} – 3}}{{4 – {x^2}}} + 1} \right) = – {\left( {x – 1} \right)^2}\)
A. \(1.\,\,P = \frac{{a + 1}}{a};\,\,\,\,\,\,P = \frac{1}{2}\)
B. \(1.\,\,P = \frac{{a – 1}}{a};\,\,\,\,\,\,P = 1\)
C. \(1.\,\,P = \frac{{a + 1}}{{a – 1}};\,\,\,\,\,\,P = \frac{1}{2}\)
D. \(1.\,\,P = \frac{{a + 1}}{{{a^2}}};\,\,\,\,\,\,P = 1\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: A
Phương pháp giải:
1. Tìm điều kiện xác định của phân thức, rút gọn và thay \(a = – 2\) để tính được giá trị của \(P\).
2. Biến đổi vế trái của đẳng thức về vế phải.
Lời giải chi tiết:
1. Phân thức xác định khi và chỉ khi\({a^2} – a \ne 0 \Leftrightarrow a\left( {a – 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\a – 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\a \ne 1\end{array} \right.\)
\(P = \frac{{{a^2} – 1}}{{{a^2} – a}} = \frac{{\left( {a – 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{a\left( {a – 1} \right)}} = \frac{{a + 1}}{a}.\)
Thay \(a = – 2\) vào biểu thức \(P\) ta được: \(P = \frac{{a + 1}}{a} = \frac{{ – 2 + 1}}{{ – 2}} = \frac{1}{2}.\)
2. \(\left( {\frac{x}{{2 + x}} – \frac{1}{{x – 2}} – \frac{{x + 3}}{{4 – {x^2}}}} \right):\left( {\frac{{{x^2} – 3}}{{4 – {x^2}}} + 1} \right) = {\left( {x – 1} \right)^2}\,\,\left( {x \ne \pm 2} \right)\)
Biến đổi vế trái của đẳng thức ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {\frac{x}{{2 + x}} – \frac{1}{{x – 2}} – \frac{{x + 3}}{{4 – {x^2}}}} \right):\left( {\frac{{{x^2} – 3}}{{4 – {x^2}}} + 1} \right) = \left( {\frac{x}{{2 + x}} + \frac{1}{{2 – x}} – \frac{{x + 3}}{{\left( {2 – x} \right)\left( {2 + x} \right)}}} \right):\left( {\frac{{{x^2} – 3 + 4 – {x^2}}}{{4 – {x^2}}}} \right)\\ = \frac{{x\left( {2 – x} \right) + \left( {x + 2} \right) – x – 3}}{{\left( {2 – x} \right)\left( {2 + x} \right)}}:\frac{1}{{4 – {x^2}}} = \frac{{2x – {x^2} + x + 2 – x – 3}}{{4 – {x^2}}}.\left( {4 – {x^2}} \right)\\ = – {x^2} + 2x – 1 = – {\left( {x – 1} \right)^2}\end{array}\)
3. Ta có:
\(\begin{array}{l}A = {\left( {m – 1} \right)^3} – \left( {{m^2} + 1} \right)\left( {m – 3} \right) – 2m\\ = {m^3} – 3{m^2} + 3m – 1 – \left( {{m^3} – 3{m^2} + m – 3} \right) – 2m\\ = {m^3} – 3{m^2} + m – 1 – {m^3} + 3{m^2} – m + 3\\ = 2.\end{array}\)
Vì \(2\) là số nguyên tố nên \({\left( {m – 1} \right)^3} – \left( {{m^2} + 1} \right)\left( {m – 3} \right) – 2m\) là số nguyên tố với mọi \(m.\)
Chọn A.
