by Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{{x – 2}} – \frac{{{x^2}}}{{8 – {x^3}}}.\frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right):\frac{1}{{{x^2} – 4}}\)
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
c) Tìm các số nguyên x để \(P \vdots \left( {{x^2} + 1} \right)\).
A. \(\begin{array}{l}a)\,\,x \ne \pm 2\,;\,\,\,\,P = {x^2} + x + 2\\b)\,\,\min P = \frac{7}{4}\\c)\,\,x = – 1\end{array}\)
B. \(\begin{array}{l}a)\,\,x \ne \pm 2\,;\,\,\,\,P = {x^2} + x + 2\\b)\,\,\min P = – \frac{1}{2}\\c)\,\,x = 1\end{array}\)
C. \(\begin{array}{l}a)\,\,x \ne 2\,;\,\,\,\,P = {x^2} – x + 2\\b)\,\,\min P = \frac{7}{4}\\c)\,\,x = 1\end{array}\)
D. \(\begin{array}{l}a)\,\,x \ne 2\,;\,\,\,\,P = {x^2} – x + 2\\b)\,\,\min P = – \frac{1}{2}\\c)\,\,x = – 1\end{array}\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: A
Phương pháp giải:
a) Quy đồng, thực hiện phép tính theo quy tắc, rút gọn.
b) Biến đổi biểu thức P về dạng 1 bình phương cộng 1 số.
c) Thực hiện phép chia đa thức P cho \({x^2} + 1\). Để \(P \vdots \left( {{x^2} + 1} \right)\) thì phép chia đó phải có số dư bằng 0.
Lời giải chi tiết:
Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{{x – 2}} – \frac{{{x^2}}}{{8 – {x^3}}}.\frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right):\frac{1}{{{x^2} – 4}}\)
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P.
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x – 2 \ne 0\\8 – {x^3} \ne 0\\x + 2 \ne 0\\{x^2} – 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \pm 2\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{1}{{x – 2}} – \frac{{{x^2}}}{{8 – {x^3}}}.\frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right):\frac{1}{{{x^2} – 4}} = \left( {\frac{1}{{x – 2}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^3} – 8}}.\frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right):\frac{1}{{{x^2} – 4}}\\\;\;\; = \left( {\frac{1}{{x – 2}} + \frac{{{x^2}}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}.\frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right):\frac{1}{{{x^2} – 4}}\\\;\;\; = \left( {\frac{1}{{x – 2}} + \frac{{{x^2}}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right).\left( {{x^2} – 4} \right)\\\;\;\; = \frac{{x + 2 + {x^2}}}{{{x^2} – 4}}.\left( {{x^2} – 4} \right) = {x^2} + x + 2.\end{array}\)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
\(P = {x^2} + x + 2 = \left( {{x^2} + x + \frac{1}{4}} \right) + \frac{7}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} \ge \frac{7}{4}\) với mọi \(x \ne \pm 2\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x = – \frac{1}{2}\)
Vậy \({\min _P} = \frac{7}{4}\) đạt được khi \(x = – \frac{1}{2}\)
c) Tìm các số nguyên x để \(P \vdots \left( {{x^2} + 1} \right)\).
Để \(P \vdots \left( {{x^2} + 1} \right)\) thì phép chia trên phải có số dư là 0 \( \Rightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = – 1\)
Vậy \(x = – 1.\)
Chọn A.
