by Với giá trị nào của $a$ thì phương trình $3\left| x \right|+2ax=-1$ có nghiệm duy nhất?
A. $a>\frac{3}{2}. $
B. $a<\frac{-3}{2}. $
C. $\left\{ \begin{array}{l} a\ne \frac{3}{2} \\ a\ne \frac{-3}{2} \end{array} \right. $
D. $\left[ \begin{array}{l} a<\frac{-3}{2} \\ a>\frac{3}{2} \end{array} \right. $
Hướng dẫn
Dễ thấy, $x=0$ không là nghiệm của phương trình đã cho.
+ Xét $x\in \left( -\infty ;0 \right)$: Phương trình trở thành $-3x+2ax=-1\Leftrightarrow \left( 2a-3 \right)x=-1\ \ \ \ \left( 1 \right)$ Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất khi $2a-3\ne 0\Leftrightarrow a\ne \frac{3}{2}$.
Khi đó, nghiệm của phương trình là $x=\frac{-1}{2a-3}$. Mà $x<0\Rightarrow \frac{-1}{2a-3}<0\Leftrightarrow 2a-3>0\Leftrightarrow a>\frac{3}{2}$.
+ Xét $x\in \left( 0;+\infty \right)$: Phương trình trở thành $3x+2ax=-1\Leftrightarrow \left( 2a+3 \right)x=-1\ \ \ \ \left( 2 \right)$
Phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm duy nhất khi $2a+3\ne 0\Leftrightarrow a\ne -\frac{3}{2}$.
Khi đó, nghiệm của phương trình là $x=\frac{-1}{2a+3}$.
Mà $x>0\Rightarrow \frac{-1}{2a+3}>0\Leftrightarrow 2a+3<0\Leftrightarrow a<-\frac{3}{2}$. Chọn đáp án D.
