by Với \(a\),\(b\) là các số thực dương thỏa mãn \(ab + a + b = 1\). Chứng minh rằng: \(\frac{a}{{1 + {a^2}}} + \frac{b}{{1 + {b^2}}} = \frac{{1 + ab}}{{\sqrt {2\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)} }}\)
Phương pháp giải:
+) Sử dụng linh hoạt giả thiết đã cho
+) Vận dụng thành thạo phân tích đa thức thành nhân tử, quy đồng phân thức, hằng đẳng thức
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\frac{a}{{1 + {a^2}}} + \frac{b}{{1 + {b^2}}} = \frac{a}{{ab + a + b + {a^2}}} + \frac{b}{{ab + a + b + {b^2}}}\\ = \frac{a}{{a\left( {a + b} \right) + \left( {a + b} \right)}} + \frac{b}{{b\left( {a + b} \right) + \left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{a}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + 1} \right)}} + \frac{b}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + 1} \right)}}\\ = \frac{{a\left( {b + 1} \right) + b\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{{ab + a + ab + b}}{{\left( {ab + a + b + 1} \right)\left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{{1 + ab}}{{\left( {1 + 1} \right)\left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{{1 + ab}}{{2\left( {a + b} \right)}}\end{array}\)
Bây giờ ta cần chứng minh \(2\left( {a + b} \right) = \sqrt {2\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)} \) là bài toán được giải quyết.
Ta có \(ab + a + b = 1 \Leftrightarrow ab = 1 – a – b\)
\(\begin{array}{l}\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) = \left( {1 + {a^2} + {b^2} + {a^2}{b^2}} \right) = 1 + {a^2} + {b^2} + {\left( {1 – a – b} \right)^2}\\ = 1 + {a^2} + {b^2} + 1 + {a^2} + {b^2} – 2a – 2b + 2ab = 2\left( {{a^2} + {b^2} + ab + 1 – a – b} \right)\\ = 2\left( {{a^2} + {b^2} + ab + ab} \right) = 2\left( {{a^2} + {b^2} + 2ab} \right) = 2{\left( {a + b} \right)^2}\end{array}\)
Suy ra \(\sqrt {2\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)} = \sqrt {2.2{{\left( {a + b} \right)}^2}} = 2\left( {a + b} \right)\) (dpcm).
