Cho hai biểu thức \(P = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x – 2}}\) và \(Q = \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x – 2}}{{x – 4}}\) với \(x > 0;\,\,x \ne 4\) a) Rút gọn biểu thức Q. b) Tìm giá trị của x để biểu thức \(\frac{P}{Q}\) đạt giá trị nhỏ nhất. A \(\begin{array}{l} a)\,\,Q = \frac{{\sqrt x – 2}}{{\sqrt x }}\\ b)\,\,\min \frac{P}{Q} = 2\sqrt 3 \end{array}\) B \(\begin{array}{l} a)\,\,Q = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 2}}\\ b)\,\,\min \frac{P}{Q} = 3 \end{array}\) C \(\begin{array}{l} a)\,\,Q = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 2}}\\ b)\,\,\min \frac{P}{Q} = 2\sqrt 3 \end{array}\) D \(\begin{array}{l} a)\,\,Q = \frac{{\sqrt x – 2}}{{\sqrt x }}\\ b)\,\,\min \frac{P}{Q} = 3 \end{array}\)

Cho hai biểu thức \(P = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x – 2}}\) và \(Q = \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x – 2}}{{x – 4}}\) với \(x > 0;\,\,x \ne 4\)

a) Rút gọn biểu thức Q.

b) Tìm giá trị của x để biểu thức \(\frac{P}{Q}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A \(\begin{array}{l}

a)\,\,Q = \frac{{\sqrt x – 2}}{{\sqrt x }}\\

b)\,\,\min \frac{P}{Q} = 2\sqrt 3

\end{array}\)

B \(\begin{array}{l}

a)\,\,Q = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 2}}\\

b)\,\,\min \frac{P}{Q} = 3

\end{array}\)

C \(\begin{array}{l}

a)\,\,Q = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 2}}\\

b)\,\,\min \frac{P}{Q} = 2\sqrt 3

\end{array}\)

D \(\begin{array}{l}

a)\,\,Q = \frac{{\sqrt x – 2}}{{\sqrt x }}\\

b)\,\,\min \frac{P}{Q} = 3

\end{array}\)

Hướng dẫn Chọn đáp án là: C

Phương pháp giải:

– Rút gọn biểu thức bằng cách quy đồng mẫu .

– Phân tích nhân tử để rút gọn

– Tìm giá trị nhỏ nhất bằng cô-si 2 số dương: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

Lời giải chi tiết:

a) Với \(x > 0;\,\,x \ne 4\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}Q = \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x – 2}}{{x – 4}} = \frac{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)}} + \frac{{5\sqrt x – 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)}}\\ = \frac{{x – 3\sqrt x + 2 + 5\sqrt x – 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)}} = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 2}}\end{array}\)

Vậy \(Q = \)\(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 2}}\)

b) Với \(x > 0;\,\,x \ne 4\).

Ta có : \(\frac{P}{Q} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x – 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}\)

Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 2 số \(\sqrt x ;\frac{3}{{\sqrt x }}\) ta có

\(\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{3}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 3 \)( dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x = \frac{3}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 3\))

Suy ra min \(\frac{P}{Q}=2\sqrt 3 \) dấu “=” khi \(x = 3\).

Vậy \(\min \frac{P}{Q} = 2\sqrt 3\) khi và chỉ khi \(x = 3\)