by Tính \(P = \frac{{{x^5} – 4{x^3} – 3x + 9}}{{{x^4} + 3{x^2} + 11}}\) biết \(\frac{{{x^2} + x + 1}}{x} = 4\) .
A \(P = \frac{{70x}}{{30x}} = \frac{7}{3}\) .
B \(P = \frac{{20x}}{{50x}} = \frac{2}{5}\) .
C \(P = \frac{{20x}}{{90x}} = \frac{2}{9}\) .
D \(P = \frac{{20x}}{{30x}} = \frac{2}{3}\) .
Hướng dẫn Chọn đáp án là: C
Phương pháp giải:
Do \(\frac{{{x^2} + x + 1}}{x} = 4\)nên \({x^2} + x + 1 = 4x\)
Phân tích tử số và mẫu số, làm xuất hiện \({x^2} + x + 1\) và thay thế \({x^2} + x + 1\) bởi \(4x\).
Lời giải chi tiết:
Do \(\frac{{{x^2} + x + 1}}{x} = 4\)nên \({x^2} + x + 1 = 4x\)
Xét tử số:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,x{}^5 – 4{x^3} – 3x + 9\\ = \left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^3} – {x^2} – 4x + 5} \right) + \left( { – 4x + 4} \right)\\ = \,4x\left( {{x^3} – {x^2} – 4x + 5} \right) + \left( { – 4x + 4} \right)\\ = 4\left( {{x^4} – {x^3} – 4{x^2} + 4x + 1} \right)\\ = 4\left[ {\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} – 2x – 3} \right) + 9x + 4} \right]\\ = 4\left[ {4x\left( {{x^2} – 2x – 3} \right) + 9x + 4} \right]\\ = 4\left[ {4x\left( {{x^2} + x + 1 – 3x – 4} \right) + 9x + 4} \right]\\ = 4\left[ {4x\left( {4x – 3x – 4} \right) + 9x + 4} \right]\\ = 4\left( {4{x^2} – 7x + 4} \right)\\ = 16\left( {{x^2} + x + 1} \right) – 44x\\ = 16.4x – 44x = 20x\end{array}\)
Tương tự, mẫu số:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{x^4} + 3{x^2} + 11\\ = \left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 3} \right) – 2x + 8\\ = 4x\left( {{x^2} + x + 1 – 2x + 2} \right) – 2x + 8\\ = 4x\left( {4x – 2x + 2} \right) – 2x + 8\\ = 8{x^2} + 6x + 8\\ = 8\left( {{x^2} + x + 1} \right) – 2x\\ = 8.4x – 2x = 30x\end{array}\)
Vậy \(P = \frac{{20x}}{{30x}} = \frac{2}{3}\) .
