by Cho \(P = \frac{{3\sqrt a }}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a – 2}} + \frac{{5\sqrt a + 2}}{{4 – a}}\,\,\,\left( {a \ge 0;a \ne 4} \right)\)
1) Rút gọn P 2) Tính P khi \(a = \sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 – \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}\) .
A 1)
\(P=\frac{4\sqrt{a}}{\sqrt{a}+2}\)
2)\(P = \frac{5}{3}\).
B 1)
\(P=\frac{4\sqrt{a}}{\sqrt{a}+2}\)
2)\(P = \frac{4}{3}\).
C 1)
\(P=\frac{4\sqrt{a}}{\sqrt{a}+2}\)
2)\(P = \frac{4}{7}\).
D 1)
\(P=\frac{4\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2}\)
2)\(P = \frac{4}{3}\).
Hướng dẫn Chọn đáp án là: B
Phương pháp giải:
– Sử dụng biểu thức liên hợp
– Rút gọn biểu thức
Lời giải chi tiết:
1) Ta có:
\(\begin{array}{l}P = \frac{{3\sqrt a }}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a – 2}} + \frac{{5\sqrt a + 2}}{{4 – a}}\\P = \frac{{3\sqrt a \left( {\sqrt a – 2} \right) + \left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right) – \left( {5\sqrt a + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a – 2} \right)}}\\P = \frac{{\left( {3a – 6\sqrt a } \right) + \left( {a + 3\sqrt a + 2} \right) – \left( {5\sqrt a + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a – 2} \right)}}\\P = \frac{{4a – 8\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a – 2} \right)}}\\P = \frac{{4\sqrt a \left( {\sqrt a – 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a – 2} \right)}} = \frac{{4\sqrt a }}{{\sqrt a + 2}}\end{array}\)
2) Với \(a = \sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 – \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{a^3} = {\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 – \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)^3}\\\,\,\,\,\,\, = \left( {1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9} + 1 – \frac{{\sqrt {84} }}{9}} \right) + 3.\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 – \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right).\sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}.\sqrt[3]{{1 – \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}\\\,\,\,\,\,\, = \,2 + 3.a.\sqrt[3]{{\left( {1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)\left( {1 – \frac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \,2 + 3a\sqrt[3]{{\frac{{ – 1}}{{27}}}}\\\,\,\,\,\,\, = \,2 – a\end{array}\)
Vậy a là nghiệm của phương trình
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{a^3} = 2 – a\\ \Leftrightarrow {a^3} + a – 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a – 1} \right)\left( {{a^2} + a + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow a = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( {do\,{a^2} + a + 2 = {{\left( {a + 1} \right)}^2} + 1 > 0\,\forall a} \right)\end{array}\)
Thay \(a = 1\) vào P ta được \(P = \frac{4}{3}\).
