by Tìm nguyên hàm dạng $I = \int {P(x){e^{{\rm{ax}}}}dx} $
Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.Ta tiến hành theo các bước sau:
- Bước 1: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = P(x)\\
dv = {e^{{\rm{ax}}}}dx
\end{array} \right.$ $ \to \left\{ \begin{array}{l}
du = P'(x)dx\\
v = \frac{1}{a}{e^{{\rm{ax}}}}
\end{array} \right.$ - Bước 2: Khi đó: $ I = \frac{1}{a}{e^{{\rm{ax}}}}P(x) – \frac{1}{a}\int {P'(x){e^{{\rm{ax}}}}dx} $.
- Bước 3: Tiếp tục thủ tục như trên ta sẽ khử được đa thức.
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm: $I = \int {x{e^{3x}}dx} .$
Giải
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = {e^{3x}}dx
\end{array} \right.$ $ \to \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = \frac{1}{3}{e^{3x}}
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow I = \frac{1}{3}x{e^{3x}} – \frac{1}{3}\int {{e^{3x}}dx } $ $ = \frac{1}{3}x{e^{3x}} – \frac{1}{9}{e^{3x}} + C.$
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm: $I = \int {{x^2}{e^{2x}}dx} .$
Giải
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^2}\\
dv = {e^{2x}}dx
\end{array} \right.$ $ \to \left\{ \begin{array}{l}
du = 2xdx\\
v = \frac{1}{2}{e^{2x}}
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow I = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} – \int {x.{e^{2x}}dx\quad } $ ${ = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} – J}$ $(1).$
Tìm nguyên hàm $J = \int {x{e^{2x}}dx} .$
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = x\\
d{v_1} = {e^{2x}}dx
\end{array} \right.$ $ \to \left\{ \begin{array}{l}
d{u_1} = dx\\
{v_1} = \frac{1}{2}{e^{2x}}
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow J = \frac{1}{2}x{e^{2x}} – \frac{1}{2}\int {{e^{2x}}dx} $ $ = \frac{1}{2}x{e^{2x}} – \frac{1}{4}{e^{2x}}.$
Thay vào $(1)$ ta được: $I = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} – \left( {\frac{1}{2}x{e^{2x}} – \frac{1}{4}{e^{2x}}} \right) + C$ $ = \frac{1}{4}{e^{2x}}\left( {2{x^2} – 2x + 1} \right) + C.$
Chú ý: Qua hai ví dụ 1 và 2 ta thấy số lần lấy nguyên hàm từng phần bằng với số bậc của đa thức $P(x).$ Nghĩa là: số bậc của $P(x)$ càng cao thì số lần lấy nguyên hàm từng phần càng nhiều.
