Tìm nguyên hàm loại 4

Tìm nguyên hàm dạng $I = \int {P(x)\ln xdx} $
Ta lấy nguyên hàm từng phần, theo các bước sau:

  • Bước 1: Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
    u = \ln x\\
    dv = P(x)dx
    \end{array} \right.$ $ \to \left\{ \begin{array}{l}
    du = \frac{{dx}}{x}\\
    v = \int {P(x)dx}
    \end{array} \right.$
  •  Bước 2: Thay vào công thức nguyên hàm từng phần, ta được một nguyên hàm quen thuộc mà có thể tính được bằng hai phương pháp đã biết: phân tích và đổi biến số.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\left( {{x^2} – 2x} \right)\ln xdx} .$

Giải

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = \left( {{x^2} – 2x} \right)dx
\end{array} \right.$ $ \to \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dx}}{x}\\
v = \frac{1}{3}{x^3} – {x^2}
\end{array} \right.$

Suy ra:
$I = \left( {\frac{1}{3}{x^3} – {x^2}} \right)\ln x$ $ – \int {\left( {\frac{1}{3}{x^3} – {x^2}} \right)\frac{{dx}}{x} } $ $ = \left( {\frac{1}{3}{x^3} – {x^2}} \right)\ln x$ $ – \left[ {\frac{1}{3}\int {{x^2}dx} – \int {xdx} } \right].$
$I = \left( {\frac{1}{3}{x^3} – {x^2}} \right)\ln x$ $ – \frac{1}{9}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + C.$