Tháng Bảy 4, 2022

Phương pháp đổi biến cho lớp hàm số đặc biệt

I. PHƯƠNG PHÁP
Dựa vào việc xem xét cận của tích phân và tính chất của hàm số dưới dấu tích phân ta có thể lựa chọn phép đặt ẩn phụ, thông thường:

  • Với $I = \int\limits_{ – a}^a {f(x)dx}$ có thể lựa chọn việc đặt $x = -t.$
  • Với $I = \int\limits_0^{\pi /2} {f(x)dx} $ có thể lựa chọn việc đặt $t = \frac{\pi }{2} – x.$
  • Với $I = \int\limits_0^\pi {f(x)dx} $ có thể lựa chọn việc đặt $t = π – x.$
  • Với $I = \int\limits_0^{2\pi } {f(x)dx} $ có thể lựa chọn việc đặt $t = 2π – x.$
  • Với $I = \int\limits_a^b {xf(x)dx}$ có thể lựa chọn việc đặt $x = a + b – t.$

II. VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
a. $I = \int\limits_{ – 1}^1 {{x^{2010}}\sin x.dx} .$

b. $I = \int\limits_0^{2\pi } {x.{{\cos }^3}xdx} .$

a. Viết lại $I$ dưới dạng: $I = \int\limits_{ – 1}^0 {{x^{2010}}\sin x.dx} + \int\limits_0^1 {{x^{2010}}\sin x.dx} $ $(*).$

Xét tính phân $J = \int\limits_{ – 1}^0 {{x^{2010}}\sin x.dx} $ bằng cách đặt $x = -t$ thì $dx = -dt.$

Đổi cận: Với $x = -1$ thì $t = 1$, với $x = 0$ thì $t = 0.$

Khi đó: $J = – \int\limits_1^0 {{{( – t)}^{2004}}\sin ( – t)dt} $ $ = – \int\limits_0^1 {{t^{2004}}\sin tdt} $ $ = – \int\limits_0^1 {{x^{2004}}\sin xdx} $ $(**).$

Thay $(**)$ vào $(*)$ ta được $I = 0.$

b. Đặt $x = 2π – t$ suy ra $dx = -dt.$

Đổi cận: Với $x = 2π$ thì $t = 0$, với $x = 0$ thì $t = 2π.$

Khi đó: $I = \int\limits_{2\pi }^0 {(2\pi – t).{{\cos }^3}(2\pi – t)( – dt)} $ $ = \int\limits_0^{2\pi } {(2\pi – t).{{\cos }^3}tdt} $ $ = 2\pi \int\limits_0^{2\pi } {{{\cos }^3}tdt} – \int\limits_0^{2\pi } {t{{\cos }^3}tdt} $ $ = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^{2\pi } {(\cos 3t + 3\cos t)dt} – I$ $ \Leftrightarrow 2I = \frac{\pi }{2}\left( {\frac{1}{3}\sin 3t + 3\sin t} \right)\left| {_0^{2\pi } = 0} \right.$ $ \Leftrightarrow I = 0.$

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:
a. $I = \int\limits_0^\pi {x.\sin x.{{\cos }^2}} xdx.$

b. $I = \int\limits_0^{\pi /2} {\ln \left( {\frac{{1 + \sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)} dx.$

a. Đặt $x = π – t$ suy ra $dx = -dt.$

Đổi cận: Với $x = π$ thì $t = 0$, với $x = 0$ thì $t = π.$

Khi đó: $I = – \int\limits_\pi ^0 {(\pi – t).\sin (\pi – t).{{\cos }^2}(\pi – t)dt} $ $ = \int\limits_0^\pi {(\pi – t).\sin t.{{\cos }^2}tdt} $ $ = \pi \int\limits_0^\pi {\sin t.{{\cos }^2}tdt} $ $ – \int\limits_0^\pi {t.\sin t.{{\cos }^2}tdt} $ $ = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi {\sin 2t.\cos tdt} – I$ $ \Leftrightarrow 2I = \frac{\pi }{4}\int\limits_0^\pi {(\sin 3t + \sin t)dt} $ $I = \frac{\pi }{8}\left( { – \frac{1}{3}\cos 3t – \cos t} \right)\left| {_0^\pi } \right.$ $ = \frac{\pi }{3}.$

b. Đặt $t = \frac{\pi }{2} – x$ suy ra $dx = -dt.$

Đổi cận: Với $x = 0$ thì $t = \frac{\pi }{2}$, với $x = \frac{\pi }{2}$ thì $t = 0.$

Khi đó: $I = \int\limits_{\pi /2}^0 {\ln \left( {\frac{{1 + \sin (\frac{\pi }{2} – t)}}{{1 + \cos (\frac{\pi }{2} – t)}}} \right)} ( – dt)$ $ = \int\limits_0^{\pi /2} {\ln \left( {\frac{{1 + \cos t}}{{1 + \sin t}}} \right)} dt$ $ = – \int\limits_0^{\pi /2} {\ln \left( {\frac{{1 + \sin t}}{{1 + \cos t}}} \right)} dt$ $ = – \int\limits_0^{\pi /2} {\ln \left( {\frac{{1 + \sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)} dx$ $= -I$ $⇔ 2I = 0 ⇔ I = 0.$