Tháng Bảy 2, 2022

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2

I. PHƯƠNG PHÁP

Để tính tích phân: $I = \int\limits_a^b {f(x)dx}$, với giả thiết hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$, ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chọn $x = φ(t)$, trong đó $φ(t)$ là hàm số được lựa chọn một cách thích hợp (ảnh của $φ$ nằm trong tập xác định của $f$).

Bước 2: Lấy vi phân $dx = φ'(t)dt$, giả sử $φ'(t)$ liên tục.

Bước 3: Ta lựa chọn một trong hai hướng:

  • Hướng 1: Nếu tính được các cận $α$ và $β$ tương ứng theo $a$ và $b$ (với $a = φ(α)$ và $b = φ(β)$) thì ta được: $I = \int_\alpha ^\beta {f(\varphi (t)).\varphi ‘(t)dt}.$
  • Hướng 2: Nếu không tính được dễ dàng các cận tương ứng theo $a$ và $b$ thì ta lựa chọn việc xác định nguyên hàm, từ đó suy ra giá trị của tích phân xác định (trong trường hợp này $φ$ phải là đơn ánh để diễn tả kết quả hàm số của $t$ thành hàm số của $x$).

Chú ý: Để minh hoạ việc lựa chọn một trong hai hướng trên, ta có ví dụ:

  •  Với $I = \int\limits_0^{1/2} {f(x)dx} $ việc lựa chọn ẩn phụ $x = sint$, $-\frac{\pi }{2} ≤ t ≤ \frac{\pi }{2}$ cho phép ta lựa chọn hướng 1, bởi khi đó: với $x = 0$, suy ra $t = 0$, với $x = \frac{1}{2}$, suy ra $t = \frac{\pi }{6}.$
  • Với $I = \int\limits_0^{1/3} {f(x)dx}$ việc lựa chọn ẩn phụ $x = sint$, $-\frac{\pi }{2} ≤ t ≤ \frac{\pi }{2}$ ta thường lựa chọn hướng 2, bởi khi đó: với $x = \frac{1}{3}$ ta không chỉ ra được số đo góc $t$.

II. VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:

a. $I = \int\limits_0^{1/2} {\sqrt {1 – {x^2}} dx} .$

b. $I = \int\limits_2^{2/\sqrt 3 } {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} – 1} }}} .$

giải

a. Đặt $x = sint$ với $t \in \left[ { – \frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}} \right]$, suy ra $dx = cost.dt.$

Đổi cận: Với $x = 0$ thì $t = 0$, với $x = \frac{1}{2}$ thì $t = \frac{\pi }{6}.$

Khi đó: $I = \int\limits_0^{\pi /6} {\sqrt {1 – {{\sin }^2}t} .\cos t.dt} $ $ = \int\limits_0^{\pi /6} {{{\cos }^2}t.dt} $ $ = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi /6} {(1 + \cos 2t).dt} $ $ = \frac{1}{2} (t + \frac{1}{2}sin2t) \left| {_0^{\pi /6}} \right.$ $ = \frac{1}{2}\left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right).$

Cách khác: Đặt $x = cost$ với $t ∈ [0; π].$

b. Đặt $x = \frac{1}{{\sin t}}$ với $t \in \left( {0; \frac{\pi }{2}} \right)$, suy ra $dx = – \frac{{\cos t.dt}}{{{{\sin }^2}t}}.$

Đổi cận: Với $x = 2$ thì $t = \frac{\pi }{6}$, với $x = \frac{2}{{\sqrt 3 }}$ thì $t = \frac{\pi }{3}.$

Khi đó: $I = \int\limits_{\pi /6}^{\pi /3} {\frac{{ – \frac{1}{{{{\sin }^2}t}}\cos tdt}}{{\frac{1}{{\sin t}}\sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}t}} – 1} }}} $ $ = – \int\limits_{\pi /6}^{\pi /3} {dt} $ $ = – \left. t \right|_{\pi /6}^{\pi /3}$ $ = – \frac{\pi }{6}.$

Cách khác: Đặt $x = \frac{1}{{co{\mathop{\rm s}\nolimits} t}}$ với $t \in \left( {0; \frac{\pi }{2}} \right).$

Chú ý:

a. Trong lời giải trên việc lựa chọn miền giá trị cho ẩn phụ $t$ phụ thuộc vào hai cận của tích phân.

b. Cũng có thể sử dụng phép đổi biến $t = \frac{1}{x}$, bằng cách viết:
$I = \int\limits_2^{2/\sqrt 3 } {\frac{{dx}}{{{x^2}\sqrt {1 – \frac{1}{{{x^2}}}} }}} $ $ = \int\limits_{1/2}^{\sqrt 3 /2} {\frac{{dt}}{{\sqrt {1 – {t^2}} }}}.$

Rồi tiếp tục sử dụng phép đổi biến $t = sinu$ với $u ∈ (0; \frac{\pi }{2})$, ta được:
$I = \int\limits_{\pi /6}^{\pi /3} {du} $ $ = \left. u \right|_{\pi /6}^{\pi /3}$ $ = \frac{\pi }{6}.$

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:

a. $I = \int\limits_0^1 {x\sqrt {1 + {x^2}} dx} .$

b. $I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 1}}} .$

giải

a. Đặt $x = tant$, $t \in \left[ { – \frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}} \right]$ suy ra $dx = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}.$

Đổi cận: Với $x = 0$ thì $t = 0$, với $x = 1$ thì $t = \frac{\pi }{4}.$

Khi đó: $I = \int\limits_0^{\pi /4} {\tan t.\sqrt {1 + {{\tan }^2}t} .\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}} $ $ = – \int\limits_0^{\pi /4} {\frac{{d(\cos t)}}{{{{\cos }^4}t}}} $ $ = \left. {\frac{1}{{3{{\cos }^3}t}}} \right|_0^{\pi /4}$ $ = \frac{{2\sqrt 2 – 1}}{3}.$

b. Đặt $x = tant$, $t \in \left[ { – \frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}} \right]$ suy ra $dx = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}$ $= (1 + tan^{2}t)dt.$

Đổi cận: Với $x = 0$ thì $t = 0$, với $x = 1$ thì $t = \frac{\pi }{4}.$

Khi đó: $I = \int\limits_0^{\pi /4} {\frac{{(1 + {{\tan }^2}t)dt}}{{{{\tan }^2}t + 1}}} $ $ = \int\limits_0^{\pi /4} {dt} $ $ = {\rm{ }}t\left| {_0^{\pi /4}} \right.$ $ = \frac{\pi }{4}.$

Ví dụ 3: Tính các tích phân sau:
a. $I = \int\limits_{ – 1}^0 {\sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 – x}}} dx} .$

b. $I = \int\limits_{5/4}^{3/2} {\sqrt {(x – 1)(2 – x)} dx} .$

giải

a. Đặt $x = cos2t$, $t \in \left( {0; \frac{\pi }{2}} \right]$ suy ra $dx = -2sin2t.dt.$

Đổi cận: Với $x = -1$ thì $t = \frac{\pi }{2}$, với $x = 0$ thì $t = \frac{\pi }{4}.$

Ta có: $\sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 – x}}} dx$ $ = \sqrt {\frac{{1 + \cos 2t}}{{1 – \cos 2t}}} (-2sin2t.dt)$ $= |cott|(-2sin2t.dt)$ $= -4cos^{2}t.dt = -2(1 + cos2t)dt.$

Khi đó: $I = – 2\int\limits_{\pi /2}^{\pi /4} {(1 + \cos 2t)dt} $ $ = – 2\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} \right)\left| {_{\pi /2}^{\pi /4} = \frac{\pi }{2} – 1} \right.$.

b. Đặt $x = 1 + sin^{2}t$, $t \in \left[ {0; \frac{\pi }{2}} \right]$ suy ra $dx = sin2t.dt.$

Đổi cận: Với $x = \frac{5}{4}$ thì $t = \frac{\pi }{6}$, với $x = \frac{3}{2}$ thì $t = \frac{\pi }{4}.$

Ta có: $\sqrt {(x – 1)(2 – x)} dx$ $ = \frac{1}{2}{\sin ^2}2tdt$ $ = \frac{1}{4}\left( {1 – \cos 4t} \right)dt.$

Khi đó: $I = \int\limits_{\pi /6}^{\pi /4} {\frac{1}{4}(1 – \cos 4t)dt} $ $ = \frac{1}{4}\left. {\left( {t – \frac{1}{4}\sin 4t} \right)} \right|_{\pi /6}^{\pi /4}$ $ = \frac{\pi }{{48}} + \frac{{\sqrt 3 }}{{32}}.$