Tháng Bảy 4, 2022

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

I. PHƯƠNG PHÁP

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$ (liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$) hai đường thẳng $x = a$, $x = b$

  • Bước 1: Gọi $S$ là diện tích cần xác định, ta có: $S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) – g(x)} \right|dx} .$
  • Bước 2: Xét dấu biểu thức $f\left( x \right) – g\left( x \right)$ trên $\left[ {a;b} \right]$. Từ đó phân được đoạn $\left[ {a,b} \right]$ thành các đoạn nhỏ, giả sử: $\left[ {a;b} \right]$ $ = \left[ {a;{c_1}} \right] \cup \left[ {{c_1};{c_2}} \right] \cup … \cup \left[ {{c_k};b} \right]$ mà trên mỗi đoạn $f\left( x \right) – g\left( x \right)$ chỉ có một dấu.
  • Bước 3: Khi đó: $S = I = \int\limits_a^{{c_1}} {\left| {f(x) – g(x)} \right|} dx + $ $… + \int\limits_{{c_k}}^b {\left| {f(x) – g(x)} \right|} dx .$

Chú ý: Nếu bài toán phát biểu dưới dạng: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  đồ thị hai hàm số $x = {f_1}\left( y \right)$ và $x = {f_2}\left( y \right)$ (liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$) và hai đường thẳng $y = a$, $y = b$ và trục $Oy$”, khi đó công thức tính diện tích là: $S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}(y) – {f_2}(y)} \right|dy} .$

II. VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a. Đồ thị các hàm số $y = 4-{x^2}$, $y = -x + 2.$

b. Đồ thị các hàm số $y = lnx$, $y = -lnx$ và $x = e.$

Giải

a. Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:
$4–{x^2} = –x + 2$ $ \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow x = – 1$ hoặc $x = 2.$

Khi đó: $S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {{x^2} – x – 2} \right|dx} $ $ = – \int\limits_{ – 1}^2 {\left( {{x^2} – x – 2} \right)dx} $ $ = – \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} – \frac{1}{2}{x^2} – 2x} \right)} \right|_{ – 1}^2$ $ = \frac{{27}}{6}.$

b. Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:
$lnx = -lnx$ $ \Leftrightarrow 2lnx = 0$ $ \Leftrightarrow lnx = 0$ $ \Leftrightarrow x = 1.$

Khi đó: $S = \int\limits_1^e {\left| {\ln x + \ln x} \right|dx} $ $ = 2\int\limits_1^e {\ln x.dx} .$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = dx
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dx}}{x}\\
v = x
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow S = 2\left( {\left. {x.\ln x} \right|_1^e – \int\limits_1^e {dx} } \right)$ $ = 2\left( {e – \left. x \right|_1^e} \right)$ $ = 2.$

Ví dụ 2: Cho hàm số: $\left( C \right)$: $y = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}}$. Tìm $b$ sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$ và các đường thẳng $y = 1$, $x = 0$, $x = b$ bằng $\frac{\pi }{4}.$

Giải

Gọi $S$ là diện tích cần xác định, ta có:
$S = \int\limits_0^b | \frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + 1}} – 1|dx$ $ = \frac{\pi }{4}$ $ \Leftrightarrow \int\limits_{\rm{0}}^b | \frac{{{\rm{x}}{{\rm{ }}^{\rm{2}}} – {x^2} – 1}}{{{\rm{x}}{{\rm{ }}^{\rm{2}}} + 1}}|dx$ $ = \frac{\pi }{4}$ $ \Leftrightarrow \left| {\int\limits_0^b {\frac{{dx}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + 1}}} } \right|$ $ = \frac{\pi }{4}$ $(1).$

Đặt $x = tant$, $ – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}$ $ \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}$ $ = \left( {1 + ta{n^2}t} \right)dt .$

Đổi cận: Với $x = 0$ thì $t = 0$, với $x = b$ thì $t = \alpha $ (với $tan\alpha = b$ và $ – \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}$).

Khi đó: $(1) \Leftrightarrow \left| {\int\limits_0^\alpha {dt} } \right|$ $ = \frac{\pi }{4}$ $ \Leftrightarrow \left| t \right|\left| \begin{array}{l}
\alpha \\
0
\end{array} \right.$ $ = \frac{\pi }{4}$ $ \Leftrightarrow \left| \alpha \right| = \frac{\pi }{4}$ $ \Leftrightarrow b = \pm 1.$