Tìm các căn bậc hai của số phức w

Bài toán: 

1. Trường hợp $w$ là một số thực

  • Nếu $w < 0$ thì $w$ có hai căn bậc hai là $\pm i\sqrt {|w|}$.
  •  Nếu $w = 0$ thì $w$ có đúng một căn bậc hai là $0.$
  • Nếu $w > 0$ thì $w$ có hai căn bậc hai là $\pm \sqrt w$.

Ví dụ 1:

  • Hai căn bậc hai của $-1$ là $i$ và $-i$. Hai căn bậc hai của $-9$ là $3i$ và $-3i$.
  • Hai căn bậc hai của $- {a^2}$ ($a$ là số thực khác $0$) là $ai$ và $-ai$.

2. Trường hợp $w = a + bi \left( {a, b \in R, b \ne 0} \right)$

Gọi $z = x + yi \left( {x,y \in R} \right)$ là một căn bậc hai của $w$ khi và chỉ khi ${z^2} = w$, tức là:
${\left( {x + yi} \right)^2} = a + bi$ $\Leftrightarrow {x^2} – {y^2} + 2xyi = a + bi$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – {y^2} = a\\
2xy = b
\end{array} \right.$

Mỗi cặp số thực $\left( {x;y} \right)$ nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai $x + yi$ của số phức $w = a + bi$.

Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của số phức $w = – 5 + 12i$.

Gọi $z = x + yi \left( {x,y \in R} \right)$ là một căn bậc hai của số phức $w = – 5 + 12i$.

Ta có: ${z^2} = w$ $ \Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = – 5 + 12i $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – {y^2} = – 5\\
2xy = 12
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} = 4\\
y = \frac{6}{x}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = – 2\\
y = – 3
\end{array} \right.
\end{array} \right.$

Vậy $w = – 5 + 12i$ có hai căn bậc hai là $2 + 3i$ và $- 2 – 3i$.

Ví dụ 3: Cho số phức $z = 3 + 4i$. Tìm căn bậc hai của $z.$

Giả sử $w = x + yi \left( {x,y \in R} \right)$ là một căn bậc hai của số phức $z = 3 + 4i$.

Ta có: ${w^2} = z \Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = 3 + 4i $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – {y^2} = 3\\
2xy = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} = 4\\
y = \frac{2}{x}
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = – 2\\
y = – 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.$

Do đó $z$ có hai căn bậc hai là $\left[ \begin{array}{l}
z = 2 + i\\
z = – 2 – i
\end{array} \right.$

Chú ý: Ta có thể tính nhanh căn bậc hai của số phức $z = 3 + 4i$ bằng cách dựa vào hằng đẳng thức $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ như sau:
$z = 3 + 4i = 3 + 2.2.i$ $= 4 + 2.2.i + (-1)$ $= 2^2 + 2.2.i + i^2$ $= (2 + i)^2$. Từ đó suy ra $z$ có hai căn bậc hai là $\left[ \begin{array}{l}
z = 2 + i\\
z = – 2 – i
\end{array} \right.$

Ví dụ 4: Căn bậc hai của số phức $4 + 6\sqrt 5 i$ là?
Giả sử $w$ là một căn bậc hai của $4 + 6\sqrt 5 i$. Ta có:
${w^2} = 4 + 6\sqrt 5 i$ $ \Leftrightarrow {w^2} = {\left( {3 + \sqrt 5 i} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow w = \pm \left( {3 + \sqrt 5 i} \right).$